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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（31）勾股定理一、内容提要1. 勾股定理及逆定理：ABC中CRta2b2=c22. 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段a的， 倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家17891853）任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。 如果
2、a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例题例1.已知线段a a a2a 3a a求作线段a a 分析一：a 2a a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：aa是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD中DAB60，BDRt，BC1，CD2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E，则E30CE2CD4，在RtABE中设AB为x,则AE2x根据勾股定理x2+52
3、=(2x)2, x2=在RtABC中，AC例3.已知ABC中，ABAC，B2A求证：AB2BC2ABBC证明：作B的平分线交AC于D，则AABD，BDC2ACADBDBC作BMAC于M，则CMDMAB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AMCM）（AMCM）ACADABBC例4.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c
4、-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n, c-b=0 即c=bABAC例5.已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC求证：ACBD证明：作DEAC，DFBC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形DEAC，DFBC，AECDBF作DHAB于H，根据勾股定理 AH，FHADBC，ADDFAHFH，EHBHDE，BDDEBD即ACBD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH求：的值解：根据勾股定理a2+b2=EF2SEFGH ;4SAEFSABCDSEFGH2ab= 得（
5、a-b）2=三、练习311. 以下列数字为一边，写出一组勾股数： 7，8，9，10，11，12，2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 252242，52122，3. ABC中，AB25，BC20，CA15，CM和CH分别是中线和高。那么SABC，CH，MH4.梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形5.已知：ABC中，AD是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD求证：AEAF6.已知：M是ABC内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且BDBF，CDCE求证：AEAF7.在ABC中，C是钝角，a2-b2=bc 求证A2B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用
6、反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2BP22CP211.已知ABC中，ARt，M是BC的中点，E，F分别在AB，ACMEMF求证：EF2BE2CF212.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是。13.ABC中，ABAC2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，p100, 记mi=APi2+BPiPiC (I=1,2，100)，则m1+m2+m100=_练习31参考答案：3.150，12，3
7、54.24（作CEBD交AB延长线E） 5. 利用勾股定理证明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD26.利用勾股定理:AE2，AF2 7.作CDAB于D， bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD) b=BD-AD 8.（用反证法）设a,b,c都是奇数， 那么a2,b2,c2也都是奇数，a2b2是偶数,而c2是奇数， 这与a2b2c2相矛盾，故这种假设不能成立，a,b,c中至少有一个数是偶数9. 正整数解有答：各边长是5，12，13或6，8，1011.延长EM到N，使MNEM，连结CN，显然MNCMEB，NCBE，NFEF12.可证DFDE2，13.400 (mi=4)1
