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1、立体几何求体积、求体积的方法常见有如下三种:1、公式法：利用公式求出简单几何体体积。2、 等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。(一般指 三棱锥，找高优先)3、 割补法：对于给岀的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过割”或补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。(注：一找二证三求”的顺序和原则。)例1、在正四面体P ABC中,PA a,求此正四面体的体积.2、三棱柱ABCABC的体积是36,点M在侧棱CC 上，求四棱锥 M ABBA的体积C例3、若ABCD AiBiCiDi
2、是棱长为a的正方体,E,F分别是棱AiA与CCi的中点，求四棱锥 C1-EB1FD的体积。ZA例4、(10安徽)如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF/ AB,EF 丄 FB, / BFC=90 BF=FC,H 为 BC 的中点，(1)求证：FH /平面EDB; (2)求证：AC丄平面EDB; ( 3)求四面体 B DEF的体积;例5、 安徽)如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点0在线段AD上,OA 1,0D2, VOAB , OAC , ODE , ODF 都是正三角形(1)证明直线BC / EF ; (2)求棱锥F-OB
3、ED的体积。例6、(13安徽)如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/ BAD = 60.已知PB = PD = 2, PA= 6.例7、(辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点,若PA= 2 6,求厶OAB的面积.PA丄平面ABCD，四边形ABCD是边长为2,3的正方形.(1)证明：PC丄BD ;若E为PA的中点，求三棱锥 P BCE的体积.例8、(13广东)如图1,在边长为1的等边三角形 ABC中，D, E分别是AB , AC上的点，AD= AE, F是BC的中点，AF与DE交于点G.将厶ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A BCF，其中 BC =2 、
4、 、(1)证明：DE /平面BCF ; (2)证明：CF丄平面ABF;当AD = 3时，求三棱锥F DEG的体积Vf-deg.练习:fl1、求侧棱长为2，底面边长为.3的正三棱锥的体积。2、在边长为a的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M , N, P分别是棱 A,B, AD, AA上的点，且满足AM1 3 AB，AN 2ND1，A1P -A1A （如图1），试求三棱锥 A1 MNP的体积.2 43、已知三棱锥P ABC,其中PA 4,PB PC2, APBAPCBPC 604、如图，在三棱柱ABC求：三棱锥P ABC的体积。A1B1C1中，E, F分别为AB, AC的中点，平面EB1C1
5、F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比5、如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知AB 4, BC 3, AE 5,BF 8,CG 12,求几何体 ABCD EFGH的体积。G7、如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AC = 3, BC = 4, AB5 , AA1= 4，点D是AB的中点.求多面体ADC A1B1C1的体积.6、四面体S ABC的三组对棱分别相等，且依次为 2 5, . 13,5，求四面体S ABC的体积。8、已知 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1 , AB 丄平面 BCD , ADB 60 , E、F 分别是 AC、AE afAD上的动点，且(01).AC AD1(1)求证：不论 为何值，总有 EF丄平面ABC ; (2)若，求三棱锥 A BEF的体积.2
