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1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量线性运算定理1:设向量az 0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数 入，使b=A a1、线性运算：加减法、数乘；2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设 a （ a%,ay,az）, b （ bx， by,bz）；则 a b （ax bx， ay by ,az bz） , a（ ax ay az）；4、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：I jx2y2z2 ；2） 两点间的距离公式：AB pg Xi） 2 （y2 yi）2 （Z2乙）23） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹
2、角”xyz4）方向余弦：cos汀cos H，cos F2 2 2cos cos cos 15）投影：Pr jua a cos，其中 为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积仁数量积：a b la b cos1) a a a2) aa baxbxaybyazbz2、向量积：cab大小：b sin ,方向：a,b,c符合右手规则12 b)axayazbxbybz运算律：反交换律(三) 曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0 ，22绕y轴旋转一周：f (y, z )0/ 2 2绕z轴旋转一周：f( X y , z) 03、
3、柱面：0的柱面F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为4、二次曲面1 ）椭圆锥面：亍a2x2 ）椭球面：a2 x旋转椭球面：yy2 yb222 z -2 c2 X3）单叶双曲面：2 a2 X4）双叶双曲面：2 a2 X5）椭圆抛物面：2 ab2b2b2x22 a b26）双曲抛物面（马鞍面）2b2-17）椭圆柱面:8）双曲柱面:9）抛物柱面:X2 a b22x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 0般方程:G(x,y,z) 0xx(t)xa cos t2、参数方程：yy（t），如螺旋线：ya sin tzz(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z)
4、 0G(x,y,z) 05消去Z，得到曲线在面xoy上的投影H (x, y) 0z 01 点法式方程：A（x x。）B（y y。）C （z z。）法向量：n （A,B,C），过点（x y z 般式方程：Ax By Cz D（五）平面及其方程x3、两平面的夹角:ni (A1 , B1 , C1)， n2AiA2B1cos2B2BiC1C2AA2B,B2 CC2A,B1C11 B2 C2ACz D 0 的距离:Pxo，y z到平面AxBy截距式方程：a(A2，B 2 ,C2)Axo By。Czg D ,A2 B2 C（六）空间直线及其方程般式方程:A2XB2 y C2Z D20Ai x Bi y
5、Ci z Di 0XX。y y Z Z。2、对称式（点向式）方程:m n方向向量：s （m,n,p ），过点 （x。 , yo, z。）xxo mt3、参数式方程：yynto4、两直线的夹角:ZZoptcosmgm1m2 mn2 Pi P20L/L2mniPm2n2P2sinL /LLiy_/m2 n2_p7Si (g,ni, Pi) , S2 (m2,n2, P2),Am Bn Cp 0 nAPi P2ABC 2 2ni Pim n p第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,i、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区
6、域Am闭区域，有界集，无界集。Cp2、 多元函数： 定义：设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映射f: D-R为定义在D上的n元函数。当n2时，称为多元函数。记为U=f (Xi, X2,，Xn) , ( Xi , X2,，Xn)? Do3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面。如 z=ax+by+c 的图形为一 张平面，而 z=X2+y2 的图形是旋转抛物线。4、极限：(1)定义：设二元函数 f(p)=f ( X,y) 的定义域 D,pO(xO,yO) 是 D 的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数 ，总存在正数3 ,使得当点p (X,y )? DAU( p0, 3)时，
7、都有I f(p)-A I = I f(X,y)-A I 成立，那么就称常数 A为函数f( X,y)当(X,y) (x o,y。)时的极限，记作lim f ( X,y) A(X,y) (X0,y)定义3设M元函数f (P)的定义域为点集0，化是其聚点且匕如果 lim f(P)=尸T %则称“元函数在点几处连续 .设匕是函数 f(p) 的定义域的聚点.如果f(p) 在点化处不连续，则称化是函数 f(p) 的多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：( 1)在有界闭区域 D 上的多元连续函数，必定在 D 上有界，且能取得它的最大值和最小值； (2)在有界区域 D 上 的多
8、元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、 偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x o,y 0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量(,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增 量)如果:与 /之比当0/ A 0时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作Iim f(xx 0(Xo,y。) fy(x y。)x, yo) f(xo, yo)xI- f(x yy oy) f(x y y7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和 fyx(x,y)在 D8、方向导数:内连续，那么在该区域内
9、这两个二姐混合偏导数必相等。cos =cos其中，为I的方向角。 I 入y9、全微分：如果函数 z=f(x, y)在(x, y)处的全增量 z=f(x y)-f(x,y)可以表示为 z=AAx+B%+o( p，其中A、B不依赖于 ，仅与x,y有关,当PT,此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，A&+ B 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz dx dyx y(二) 性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系微分法1)定义:偏导数连续2) 复合函数求导：链式法则若 z f(u,v),u u(x, y),v v(x, y)，则 zzuz
10、v zzuzVx u x v x, y u y v y3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三) 应用fx0解方程组fy0求出所有驻点，对于每一个驻点A fxx(xy JBfxy(xo,y。) , Cfyy(Xo,y ,若ACB20A 0，函数有极小值，若ACB20,A 0，函数有极大值；若ACB20函数没有极值；若ACB20,不定。1、极值2)条件极值：求函数(Xo,y。),z f (x, y)在条件(x, y) 0下的极值1)无条件极值：求函数z f (x,y)的极值令: L(x, y) f (x, y) (x, y) Lagrange 函数Lx 0解方程组Ly 0(x,y) 02
11、、几何应用1)曲线的切线与法平面x x(t)曲线：y y(t)，贝S上一点M(Xo,yZo)(对应参数为to)处的z z(t)x xoy y z zo切线方程为：x (to)y (to)z(to)法平面方程为：x (to)( x X。) y (to)(y y。) z(tJ( z z o2）曲面的切平面与法线曲面：F (x,y,z)Fx(Xo,y z) )(x0 ,贝q上一点M （xo,yz处的切平面方程为:法线方程为:Fx(Xo,X。y z Fy(xo,yo,zo)y y。z ZFz(Xo， y。，Zo)Xo) Fy(Xo,yo,zo)(y y o) Fz(Xo,yo,z)(z z。)o第十章
12、重积分（一）二重积分1、定义： f (x, y)dlinf( k, k)k 1性质：（6 条） 几何意义：曲顶柱体的体积计算:1)直角坐标1(x) y 2(x)(x, y)f (x, y)dxdyb2( X)a dx i(x)f (x,y)dy(x, y) i(y)x 2(y)y d，f (x, y)dxdycdy I(y) f(x ,y)dx极坐标i(2()2()f (x, y)dxdy1()f ( cos , sin ) d)三重积分1、定义：2、性质：3、计算：1)直角坐标f (x,y,z)df (x,y,z)d2)柱面坐标Dvvcosxf (x, y, z)dvn1 叫 f( k, k, k)U k 1Vksin3)球面坐标DdxdyZ2(x,y)Z1( f(x，y,z)dz -f (x, y, z)dxdyf(x,y ,z)d vf ( cossin ,z) d d dz
