弹性力学的基本理论及其在实际中的应用

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1、弹性力学的基本理论及其在实际中的应用弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或 者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强 度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一弹性力学的基本规律规律假设弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变 形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三 大基本规律。井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化， 我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩 条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一

2、个前提,也就是对它的假设,基本假 设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介 绍弹性力学的几个基本假设：1. 连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。2. 均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 因此，物体的弹性性质处处是相同的。3. 各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。4. 完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无

3、关，也和变形历史无关，称为完全 弹性材料。5. 小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。6. 无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设， 弹性力学求解的应力仅仅是 外力或温度改变而产生的。二下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进 行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题， 求解的方法有解析法和

4、近似解法。（1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因 此仅适用于个别特殊边界条件问题。（2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术 的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在 弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极 大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成 就。试验方法主要是用仪器做实验来获得岩体的各种参数。 现在就解析法简要介绍弹性力学的基本方程：1. 平衡微分方程dx3%丄旳严& 卽用张量形式描述b讣+也二02. 几何方程SudvE 3x?* 卽 血用张量形式描述Sv

5、3w Sv=+&?变形协调方程金卽92/-/严8y3z氓丄汽二F JE血23x9z2（_应十生十如）二2仏 dx & dy fe dydz=03. 本构方程-广义胡克定律用应力表示的本构方程s x = b x -Q y + c z) / E = (1+ v)c x - v/ Ee y = b y - (c x + c z)/ E = (1+ v)c y - v/ Es z = c z - (c x+c y)/ E = (1+ v)c z - v/ EY xy = t xy / GY yz =t yz / GY xz =t xz / G用应变表示的本构方程4. 边界条件：如果物体表面的面力Fsx

6、，Fsy，Fsz为已知，则边界条件应为:sxsysz爲二匸丿+b严+T肿称为面力边界条件，用张量符号表示为 5二&代如果物体表面的位移他*神已知，则边界条件应为称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。如上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六 个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程 和六个物理方程，也是十五个基本方程。三下面谈一下弹性力学在实际应用中解决问题的实际方法：1. 应力函数法 该方法主要是用应力作为基本变量求弹性力学的平面问题，在体力为常量 时，归结为在给定的边界条件下求解平衡方程Qq x / dx +

7、Qt yx / dy + Fx = 0Qt xy / Qx + Qq y / Qy + Fy = 0和调和方程：2 (ox+oy) =0 转化成齐此方程，用数学方法求出各项参数。直接求解弹性力学问题往往时很困难的，有时可以使用逆解法和半逆解法。 例如：在直角坐标系下用多项式逆解法来解答一些具有矩形边界且不计体力的平 面问题，用三角级数求解等，也可以通过量纲来确定应力函数的形式。2. 复变函数法 它的基本思路时将 Airy 应力函数用两个解析函数表示，并将位移、应力和 边界条件也表示成复变函数的形式，从而吧平面问题转化为在给定的边界条件 下，去尊求两个解析函数的问题。在弹性力学问题的求解中，边界

8、条件一般时很 难完全满足的，这时我们可以利用Saint.Venant原理，使在大边界上完全满足边 界条件，在小边界上等效满足。3. 有限单元法 从物理概念上看，弹性力学有限单元法是杆系结构力学的矩阵位移法(即杆 系结构的有限单元法)弹性体是个连续体，为了能用结构力学的矩阵方法来计算 弹性力学问题，首先必须对弹性体进行离散化，也就是将连续的弹性体分割成有 限个有限大小的构件，它们通过有限个点互相联系，这些有限大小的构件就成为 有限单元，简称有限元，而连接它们的点九成为结点。通过离散化以后，由于单元之间只通过结点联系，所以物体所受到的体力和 面力都应按静力等效的原则移置到结点上，成为结点载荷，这样

9、，通过离散化就 得出一个由若干单元在结点处铰接，并受已知结点载荷的结构体系，这就是有限 元计算模型。计算时通常采用位移法，即取结点的未知位移为基本未知量。对单元选择适 当的位移模式即形状函数，则单元内任一点的位移可由结点位移表示，通过对单 元进行变形几何关系、物理关系、静力平衡关系的分析就能得到应变、应力分量 及结点对单元的作作用力，即结点力和结点位移的关系。这样，所有欲求的力学 量都用结点位移表示，这一步称单元分析。再对每一结点建立结点荷载与结点力的平衡关系，则对整个叹息可以得到一 组以结点位移为未知量的代数方程，这一步称整体分析。引入支撑条件，求解线性代数方程，求出结点位移，进而求出其它的力学量。 这就时弹性力学的有限单元法，对于这样方法，已经由许多成熟的有限元软 件可以使用，如： ANSYS,NASTRAN 等，它们不但可以求解平面问题，而且还 可以方便的求解弹性力学的空间问题。弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，对井下工程 的发展也起到了一定作用。弹性力学为社会发展和人类的文明进步起了重要的作 用。