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1、道路卵形回旋线任意点坐标及方位角计算方法摘要本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式。高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直 线、圆和缓和曲线（我国公路路线设计规范中规定回旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和 曲线线形）等公路平面线型要素组合而成。各种平面线形设计形式，如基本形、卵形、 S形、C形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线 形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设 更为复杂。本文针对高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标 计算方法及公式，为现场
2、测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。一、回旋线的基本特征及坐标计算回旋线上，任意一点的曲线半径P与该点至曲线起点的曲结长z之积为一常数（图1）即PI = A 2（1）或A2 = （p Z式中，A 2为回旋曲线常数，表征回旋曲线曲率变化缓急程度的量，称A为回旋曲线参 数。1、回旋曲线上的任意一点坐标计算由图1（曲线右旋），取回旋线的起始点ZH处的切线方向为轴，法线方向为J轴，任意一点的切线方位角为缓和曲线角。在缓和曲线上对任意一点P取微分dZ = p 邓dx = dZ cos pdy = dZ sin p考虑式（1）对p或i在区间hp或ln,z上积分后有下列关系式成立：*fx = AJ2。1
3、 -I+ 史-1L + .216 9360 Jy =苧 Ap 1也+七工.J14 440 25200 J或者i 3 + 40 p23456P4/2/416y = +.(6)6p 336p342240p5图1图2对于公路平面线形的基本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径p变化于3T R （圆曲半径）。设缓和曲线段长度为ls，则pl = RlSp = Rl : lS7l5X = l 40R 2 ls 2(7)13 y =6Rls 336R31 32、回旋线的几何要素见图1，回旋线的几何要素计算公式如下：任意点尸处的曲率半径（由式（1）和式 （2）(8)A 2 lp =l 2 p
4、v；2 p（9）P点的回旋曲线长（10）P点的缓和曲线角（切线方位角，由（9）式）Q 1 12 A 2 190/、p =()2 p 2 A 22 p 2 p 兀（11）上面导出了当参数分别为P和l时的右旋缓和曲线上任意一点的坐标和几何要素公式。显然，缓和曲线左旋时（图2），与右相比，x坐标公式一致，而y、P反号。若令 sign = 1，缓和曲线右旋时取sign = 1，左旋时取sign = -1，则坐标和方位角等符号量 可统一表示为：元=X y = signy（12）P = signg3、回旋曲线的基本特征1、几何特征。回旋曲线随着曲线长度的增加，曲率按线性函数增加。起点奶=0， 曲率% =0
5、，终点处l =七，曲率% =常数。2、相似性。回旋曲线的形状只有一种，回旋曲线参数A即为放大系数。二、卵形曲线形式及其缓和曲线段坐标计算按直线一缓和曲线（A1）圆曲线（R1）缓和曲线一一圆曲线（R2）缓和曲线（气）一一直线的顺序组合构成的平面线形形式（R1牛R?），称为卵形曲线（图 3）。卵形曲线中，显然圆曲线一一缓和曲线一一圆曲线段的缓和曲线坐标计算是新的课 题，它成为整个卵形曲线计算的瓶颈。解决了这个问题，其他平面线形形式的曲线坐标 计算也就迎刃而解了。解决问题的关键在于是对两圆曲线之间的缓和曲线的正确认识：（1）两不等圆曲线之间的缓和曲线仍是回旋线；（2）该回旋线没有起点（p = 0）的
6、回旋线段。于是，解决问题的方案是：第一，仍须确定哪端为回旋曲线的起点（p =0）端;第二，假定缓和曲线起点而套用平面曲线基本形计算回旋曲线任意一点坐标及其方位 角；第三，坐标变换为大地（或施工区）坐标形式，而这正是高效测设曲线的现代发展 所需要的坐标形式。我们知道，回旋曲线起点处曲率半径p=3，随着离曲线起点的曲线长度增加，曲 率半径由大变小。因此，卵形曲线两圆之间回旋线的起点必在相接圆半径较大的圆曲线 那一端。由此再确定回旋线的右或左旋形式以确定独立坐标公式（sign的值）的使用。 根据回旋线上的特征点的已知大地坐标和独立坐标，可计算出坐标变换参数，从而得到 回旋线上任意一点的大地坐标及其切
7、向、法向方位角。以图3为例，因为R1气，可见回旋线的起点在R1圆曲线的那一端，显然，该回 旋曲线右旋。设回旋曲线起点为。，起点处切线方向为x轴，法线方向为y轴，建立独 立坐标系。O - YH弧长：11= A2RO - HY弧长：ls = 11 +10 = A2R这里，10=七hy为缓和曲线段长度。缓和曲线上任意点P至起点O的孤长为1 f = 11 +1这里，1为P至圆缓点丫丑的孤长。将11,1s, 1 分别替代1代入式(7)、式(8)得到圆缓点YH、缓圆点HY、任意点P独立坐标系坐标x , y ,x , y ,x , y (注意，计算时式中R = R)。YH YH HY HY p p2设独立坐
8、标系xOy原点O的大地坐标为(X, Y)，x轴的大地方位角为a 0，由YH,HY点的大地坐标和独立坐标可分别反算直线YH-HY的坐标方位角a 1,a2，贝Qa =a -a(13)于是，独立坐标系中任意一点P(x,y)的大地坐标X,Y为X = X + x cos a - y sin a(14)Y = Y + x sin a + y cos a(15)这里，X,Y可由点YH或HY已知坐标数据(大地、独立)用上两式求得。P点切线大地方位角a = a + signfi(16)法线大地方位角t = (a - sign90) 土 180(17)三、算例广东某高速公路一段卵形曲线设计数据的特征点大地坐标见表
9、1，缓和曲线参数A = 300，缓和曲线长度1 = 157.50m，两相接圆曲半径见图4。求缓和曲线内两里程桩 0号点的大地坐标及法向方位角。表1部分设计数据点号里程桩号X (m)Y (m)其他数据圆缓点(YH)K0+327.433961.5054033.679T1=59.95交点（JD）K0+387.383998.1323986.223T2=97.98缓圆点（HY）K0+484.934071.5893921.3829 = 10。5413简要计算如下：因R2 A R1，可见回旋线起点在%端且左旋（sign = -1）,建立独立坐标系如图4。则li=30m=187.50m由此代入式（7）、式（8
10、）并注意到R = R1 = 480m得HY,YH点独立坐标为x = 30 yY = -0.05HYx = 186.785尸= -12.174YH由直线HY - YH的大地方位角a 1和独立方位角a之得独立坐标轴x的大地方位角a =a1 -a 2 = 138。5105则 X0 = 4094.145 Y = 3901.605于是缓和曲线上点K0 + 420处、K0 + 380处坐标与方位角数据可得K0 + 420 : (l = 11 + 484.93 - 420 = 94.93)x = 94.906 y = -1.584 p = 2。5206X = 4023.723 Y = 3965.247 t
11、= 45。5859K0 + 380 : （l = 11 + 484.93 - 380 = 134.93）x = 134.792y = -4.546p = 5。47 43X = 3995.637 Y = 3993.723 t = 43。0322四、结束语卵形曲线中两圆曲线之间的缓和曲线段是螺旋回旋线不含起点的一部分。其上任意 点的坐标计算仍可套用平面线形基本形式中的缓和曲线点的坐标公式。本文给出的卵形 曲线中缓和曲线段任意一点的坐标特别是大地坐标及其法向方位角的解算方案及公式， 既解决了测设数据的数值计算问题，又适应了野外测设使用大地坐标设站灵活性强、效 率高、节省外业工作量的现代发展趋势。使用可编程的便携机非常方便快捷。（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关 注！）
