《第八章第7讲抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章第7讲抛物线（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲抛物线课本温故追根求源C或木才百商务安谥出)知识梳理1. 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1) 在平面内；(2) 动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;(3) 定点不在定直线上.2. 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px (p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形未顶点0(0, 0)对称轴y=0x=0隹点 八、八、F(2,0)F(2,0)F(0,p)F(0,-2)离心率e=1准线方程Px=2x= p x 2-py=2_p y=2范围xN0, yERxW0, yERyN0, xERyW0 xER
2、开口方向向右向左向上向下焦半径(其中5, y。朋=%+2朋=-x+p朋=y+p朋=-y+2做一做1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A. y2=-8xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=4x解析：选C.由抛物线准线方程为x=2知p=4,且开口向右，故抛物线方程为y2=8x.2. 抛物线y2=8x的焦点坐标是()A. (2, 0)B. (2, 0)C. (4, 0)D. (4, 0)答案：B要点整合1. 辨明两个易误点(1) 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动 点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.(2) 抛物线标准方
3、程中参数p易忽视只有p0,才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义.2. 与焦点弦有关的常用结论设A(x1，y1), B(x2, y2)p2yiy2=p2，卒=4推1=%+%+召=；3为AB的倾斜角).(以下图为依据)/、1I1、/士2 IAFI + IBFI 为定%(4) 以AB为直径的圆与准线相切.(5) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.做一做3. (2014高考课标全国卷I)已知抛物线C： y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，IAFI=4x0，则 x0=()A. 4B. 2C. 1D. 85x0解析：选C.如图，F(4，0)过A作AA准线l,.IAFI =
4、 IAA1，4. 动圆过点(1，0)，且与直线x= 1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.解析：设动圆的圆心坐标为(x, y),则圆心到点(1, 0)的距离与到直线x=-1的距离相 等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2 = 4x.答案：y2=4x厕购杭至|戛瓦:名师导悟以例考点一抛物线的定义及其应用(1)(2014高考课标全国卷I)已知抛物线C： y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则IQFI = ()AlB.|C.3D.2(2)(2015长春市调研)已知直线l1： 4x3y+6 = 0和直线l： x= 1，则抛物线y2=4x 上
5、一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.B. 2D. 3解析(1)：FP=4FQ,一 一PQ 3 .IFPI=4IFQI,.pF=4.如图，l与x轴的交点为& 则IAFI=4, IPQI_IQQ I_3* IPFI = I&FI =4，过Q作QQl,垂足为Q,设.IQQ I = 3，根据抛物线定义可知IQFI = IQQ，| = 3,故选C.（2）由题可知l2：x= 1是抛物线y2=4x的准线，设抛物线的焦点F为（1，0），则动点P 到12的距离等于IPFI，则动点P到直线11和直线12的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：I40+6I4x3y+6 = 0的距离，所以最小值是
6、一5=2.答案（1）C （2）B规律方法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距 离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.跟踪训练1.（1）（2015云南省统一检测）设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于&、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（）B.相切A.相离C.相交但不经过圆心D.相交且经过圆心（2）（2015浙江杭州模拟）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d,7且点P在y轴上的射影是M,点A（2，4）,则IPAI + IPMI的最小值是（）7A. 2B.
7、 49C.2D. 5解析：（1）选B.设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A、BM， 则IMM1I=2（IAA1I + IBB1I）,由抛物线定义可知IBFI = IBB1I，IAFI = IAA1I，所以IABI = IBB1I + IAA1I， IMM1I=2iABI，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线 相切.（2）选C.抛物线焦点F（2，0），准线x=；，如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义 得IPFI = IPI，IP4I +IPMI + IMNI = IPAI + IPN = IPAI + IPFINIAFI = 5，而IMNI=*
8、IPAI + IPMIN5 2 =92，, -. 9的最小值为2.考点二P 八、抛物线的标准方程及性质(高频考点)当且仅当A, P, F三点共线时，取=”号，此时，点P位于抛物线上，.IP!I + IPMI抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高 考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程;(2)由已知求参数p；(3)与其它知识交汇求解综合问题.(2015昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F, O为坐标原点，M为抛物线上一点，且IMFI=4IOFI, MFO的面积为4由，则抛物线方程为()B. y2=
9、8xA. y2=6xC. y2=16x-15D. y2=yx(2)(2015山东德州模拟)已知双曲线与一步=1(。0，b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p 0)分别交于O, A，B三点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AAOB的面积为应， 则 p =()3A. 1B.2乙C2D3解析(1)依题意，设 M(x, y), IOFI =2，所以I MFI = 2p, x+2=2p, x=, y=一可 3p, 又MFO的面积为4后，所以?XpX茶p=4-岳，解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.b(2)双曲线的渐近线方程为y = x,因为双曲线的离心率为2,a所以 L：T+$=2,by=V
10、3x,-=;3.由aly2=2px,-2p( 八 x= q , x=0 0)的焦点为F点M在C上，IMFI = 5.若以MF为直径的圆过点(0, 2),则C的方程为()A. y2=4x 或 y2=8xB. y2=2x 或 y2=8xC. y2=4x 或 y2=16xD. y2=2x 或 y2 = 16x(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为2*,求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.y0), A(0, 2), MF 的中点为 N.解析：(1)选C.设M(x0, 由 y2=2px, F(2，0),：.N点的坐标为xo*2 y0 2 , 2)由
11、抛物线的定义知，x0+ 2=5,IMFI 525VIANI=J-：-=2,AIAN|2=2-.乙乙l254 .2整理得 p210p+16=0.解得p = 2或p=8.抛物线方程为y2=4x或y2=i6x.(2)解：由题意，设抛物线方程为x2=2ay(a0).设公共弦MN交y轴于&则IMA = AN，且AN=S.VIONI = 3,.IOAI=.32-5) 2=2,.N(右，2).,:N点在抛物线上，.5=2a(2),即2a = S,故抛物线的方程为x2=2y或x2=2y.抛物线x2=2y的焦点坐标为(0, D，准线方程为y=|.抛物线x2=5y的焦点坐标为(0,8)，准线方程为y=|.考点三直
12、线与抛物线的位胃关系 (2014高考辽宁卷)已知点A(2, 3)在抛物线C： y2=2px的准线上，过点A 的直线与C在第一象限相切于点8,记C的焦点为F则直线BF的斜率为()B. 334C 一D _C.4d.3(2)(2014.高考四川卷)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A, B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA - OB=2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A. 2B. 3C亨D.而解析(1)抛物线y2=2px的准线为直线x= 2，而点A(2, 3)在准线上，所以一2 =2,即p=4，从而C: y2=8x，焦点为F(2, 0).设切线方程为y3=k(x+2)，代入
13、y2=一 kk一18x,得|y2y+2k+3 = 0(k/0)，由于= 4X|(2k+3) = 0,所以 k=2 或 k=22. oo匕因为切点在第一象限，所以k=2.将k=2代入中，得y=8,再代入y2=8x中得x=8,84所以点B的坐标为(8, 8),所以直线BF的斜率为6=3.直线与抛物线的位置关系(2)(2014.高考四川卷)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A, B在该抛物线上且位于x轴的两ffl, OA - OB=2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3D10CItJzC. 8(2)设直线AB的方程为x=ny+m(如图)，A(x1, y1), B(x2, y2),0A-OB=2, 侦152=2.又 y1=X1，y2=X2,-yiy2=-2.、y2=x,联立(得 y2ny一m=0
