《2022版线性代数证明题题库》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022版线性代数证明题题库（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12022版线性代数证明题题库1.设方阵A满足T A 2E=0,证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)1证明：由 A2 _A_2E=O=A(A_E)=2 E n A _ l=g(A_E)又 由 一 A 2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4E.(A+2)-l=-(3E-A)42、设/为方阵，若存在某个正整数左上2使A*=0,证E-A可逆且并写出其逆矩阵的表达式(E为 阶单位阵).(可逆阵为E+A+A?+A】)证明：(E A)(E+A+A2+.+A*-)=E A*=0(E-A)(E+A+A2+.+)=E故E-A可逆，其逆矩阵为E+A+A2+.+
2、A iA B3、设为”阶方阵，试证明：=A+BA-B.B A 1 1 1 1A BB AA+BBB+AAA+BB证明0A-B=A+BA-B4、设A B为”阶方阵，试证明:CAIBB、4可逆的充要条件是(A+5),(A-5)都可逆.证明A+B 0B A-B=A+BA-B,A BB AA+BBB+AA,A BA可逆 其行列式不等于0=(A+B),(A 3)的行列式也不等于0(A+5),(A 3)也者B可逆。5.设A为可逆方阵，试证明：A的伴随矩阵也可逆且(4*厂=*.证 明:矩 阵A可逆0小0,且A A*=|A|E n俞 A*=E，故A的伴随矩阵也可逆，且()又由矩阵A可逆o A1也 可 逆 且=
3、百，而 川 .(*)*=阴 忸 o (1)*=甲|A=备，则(A*厂=)*。lAl6.设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若 凶=0,则,*卜0；(2)|A*|=|4-1.证明:2（1）用反证法证明.假设|A*|W 0则有A*（A*）-1 =E由此得 A=A A*（A*）T =|4|E（A*）T =O：.A*=O这与|A*|WO矛盾，故当|H =0时有|A*|=01 由 于A-1=闵A*,则A A*=A E取行列式得到：IA（A*J=同”若则|A*|=|AT 若=o由 知A*=o此时命题也成立故 有 =M L7.设A为阶矩阵，若Ac =O只有零解，证明：方程组A/x=O也只有零解，其中左为正整数
4、.证明:.4=0只有零解nR（A）=，可 逆=阈2 0.则W =|A#0R（A）=0 只有零解.8、设%,%,%为Ax=0的基础解系。证明=%+2%,，2=2%+3%,夕3 =3%+/也是Ax=。的基础解系。证明：只要证笈,A，凤是线性无关即可，令 kxf3x+k/32+k3/33=0 左（t Z+2%）+左2（2%+3%）+左3（3 4+%）=0（k+左3）%+（2左+2kqec2+（3左2 +3左 ）。3 =又 4 ,a、,a、线性无关,故 左=&=%=0二.后,尸2,凤线性无关。即 尸i=%+2%,/2=2%+3%，夕3 =3%+%也是A x =0的基础解系。9.设在向量组中外 W 0且
5、每个小（i=2,3,m）都不能由,4-1线性表示，证明该向量组线性无关。证明：（反证法）假设该向量组线性相关，即存在不全为零的数匕状2,，心使得k s +k2a2+-kmam=0 成立。假设，42,，从右向左第一个不为0的数为与，则上式变为 k s+k 2 a 2+kjdj=0,即a =一（占%+七 出+%,i i）与题设矛盾，故假设不成立，即该向量组线性无关。房 一1 0.若向量组a,民/线 性 无 关 证 明。+民/?+7，7 +。也线性无关证明：设有一组数左,，匕，使得：勺（a +4）+eO+7）+&（7+a）=0成立。整理得：a （%+&）+/?（匕 +左2）+/（&+3）=0 o女1
6、 +%3 =0因为向量组a,国/线性无关，故可得：仁+%2=0。%2 +%3 =031又由于该齐次线性方程组的系数行列式100 11 0=20 01 1故方程组只有零解,也 即 是 左=修=%=0,从而a+夕,尸+7,y +a线性无关.1 1.证明：当。=-1 或 0 或1 时，向量组 =(a /)、?=(1,。,一 1)，%=(1，1，。厂线性相关.a 1 1证 明：以 所 给 向 量 为 列 向 量 的 矩 阵 记 为 4由|A|=1 a 1=。(。一l)(a+l)1 -1 a知，当 a=-1、0、1时,兄(0 3,此时向量组线性相关.1 2 .设%,%,凡是一组维向量，证明它们线性无关的
7、充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明：必要性：设 a为任一 n维向量.因为a i,a2,，防线性无关，而 a i,。2,、a是 n+1 个n维向量，是线性相关的，所以a能由a i,a2,斯线性表示，且表示式是唯一的.充分性：已知任一n维向量都可由a i,02,环线性表示，故单位坐标向量组e i,e 2,，/能 由ai,02,-,an线性表示，于是有 n=R(ei,62,en)/?(a i,02,an)n,即 R(ai,a2,an)=n,所以 a i,a2,-,an 线性无关.1 3、设向量组A：%,-2,(Z 的秩为S,向 量 组 向 4,。2,%的秩为t试证：r+s m o证明
8、：设向量组A 去掉向量组B 后的向量组为C,则 R (C)W m r,R (A)W R (B)+R (C)所以 R (B)R (A)-R (C),t N s-R(C)r +s-m1 4.设4 =ax+a2,b2=a2+a3,b3=%+4 也=4 +%，证明：向量组年也也，为线性相关证明：由已知条件得：4 =4 -g,口 2 =为 一%，。3 =4 一。4，。4=一。1，于是 by b、+by 一仇+4 一&=4 一4 +4 一仇+，从而2d+&仇=，故向量组伪，仇力3,线性相关.15、A,B 为同型矩阵，证明 R(A+3)R(A)+R C B)。(A O A(A A+B 八 R =R(A +B
9、)A B =B7=A B=(AB)r即A B是对称矩阵.5必要性：(AB)二 人 台 二 丁/二 钻 二 胡 二 钻.2 3.已知”阶方阵A 满足A?A =O,证明：A =0证明：设 A =(旬)，则考查A A 的第i个 主 对 角 元 为 成=0,故 阳=0,即 A=0k=l2 4、设 4与 B都是n阶正交阵，证明A B 也是正交阵.证明：因为A,B是n阶正交阵，故AT=M,B-1BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B1A-1AB=E,故AB也是正交阵.2 5.设/为正交阵，且|川=-1,证明彳=-1 是/的特征值.证明：因为/为正交矩阵，所以/的特征值为-1或 1.因为等于所有特征值之
10、积(2 分)，又|川=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即彳=-1 是/的特征值.2 6 .设方阵A 满足条件A A nE,其 中 是 A 的转置矩阵，E为单位阵.试证明A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.证明：设 4的实特征向量x#0所对应的特征值为2,则 A c =疝.又：(AX)T(AX)=(2 x)7 (2 x)(3 分)=xT x=分)=1=A2=|A|=1(2 分)2 7 .设是矩阵A 的不同特征值4，22的特征向量.证明无 1 +不 是 A 的特征向量.证明：(反证法)假设为+%是 A 的特征向量，相应特征值为2 ,则 有 A(七+/)=2 (x1+x2)=2 Xf+A
11、 x2而 AX =4 X ,A X,=22 x2 故/I X +/l /l%2 =4%+4，即(4一4)%1+(2 A2)x2=0又西,彳2 线性无关，所以4=%=/I 矛盾。故证。2 8、设木一3 A+2 E=。，证明A的特征值只能取1 或 2.证明：设彳是A 的任意一个特征值，x是 A 的对应于2 的特征向量，贝 I(A2-3A+2E)x=22x-3 2 x+2 x =(22-3/l+2)x =0.因为xM,所以3 2+2=0,即2 是方程矛一3 2+2=0 的根，也就是说&1 或Q2。2 9、设 A,5 c为同阶方阵,且C为非奇异矩阵,满足C lA C=5 ,求证：C-AnC =Bmo o r3 0.设A=1 1 a，问当。为何值时，矩阵A 能对角化11 o oJ2 0-1解：由 怀 石 _/=_ 1 2-1 -a=(2-1)2(2 +1)=0-1 0 2求得矩阵A 的特征根4=4=1，4=-1。要矩阵A 可对角化，由定理可知：对应单根4=-1,可求得线性无关的特征向量恰好一个,6而对应重根4=4 =1,应有两个线性无关的特征向量，即方程（石-A）%=0有两个线性无关的解,也即是r（E A）=l.1 0-1、1 0而 E-A =-1 0-aT0 01 0 1；、0-1 +10、7要使r（E-A）=l,必须 +1=0,由此解得：a=-lo因此，当=1时，矩阵A可对角化。
