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1、课时作业(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1(2015南昌模拟)设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，”的平面，()A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对答案：D解析：过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面垂直于，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线与b确定的平面垂直于.故应选D.2(2014广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案：D解析：如图，在长方体ABCDA1B
2、1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.故应选D.3(2015南平3月)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案：A解析：BC1AC，BAAC，BABC1B，AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上故应选A.4(2015潍坊模拟)如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论
3、不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案：D解析：因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，A成立；易证BC平面PAE，BCDF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不可能成立故应选D.5(2013山东)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.BCD答案：B解析：如图，设P0为底面ABC的中心，连接PP0，由题意知|PP0|为直三棱柱的高，PAP0为PA与平面
4、ABC所成的角，SABC()2sin 60.三棱柱的体积V，|PP0|，|PP0|.又P0为底面ABC的中心，则|AP0|等于正ABC高的，又易知ABC的高为，|AP0|1.在RtPAP0中，tanPAP0，PAP0，故应选B.6(2015湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A.BCD答案：A解析：在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，则ACBD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DOOB，由于DOAC，BOAC，因此DOB就是二面角BACD的平面角，由BD1，得cosDOB.二、填空题7若m
5、，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直其中的假命题的序号是_答案：解析：显然错误，当平面平面，平面内的所有直线都平行，所以内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图所示，若l，且nl，当m时，mn，但n，所以错误；如图，显然当mn时，m不垂直于n，所以错误8. (2015青岛模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平
6、面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DMPC(答案不唯一)解析：由题意，易得BDPC，所以当DMPC时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.9如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案：解析：由题意，知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确10把等腰直角A
7、BC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为_答案：解析：如图所示，在平面ADC中，过D作DEAC，交AC于点E，连接BE，因为二面角BADC为直二面角，BDAD，所以BD平面ADC，故BDAC.又DEBDD，因此AC平面BDE，又AC平面ABC，所以平面BDE平面ABC，故DBE就是BD与平面ABC所成的角在RtDBE中，易求tanDBE.三、解答题11(2015青岛质检)如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2.(1)证明：AF平面BDG；(2)证明：平面BG
8、M平面BFC；(3)求三棱锥FBMC的体积V.解：(1)证明：如图连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接OG.点G为FC的中点，OG为AFC的中位线，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)证明：如图连接FM.BFCFBC2，G为CF的中点，BGCF.CM2，DM4.EFAB，四边形ABCD为矩形，EFDM，又EF4，四边形EFMD为平行四边形FMED2，FCM为正三角形，MGCF.MGBGG，CF平面BGM.CF平面BFC，平面BGM平面BFC.(3)VFBMCVFBMGVCBMGSBMGFCSBMG2.GMBG，BM2，SBMG21，VFBMCSBMC.12(
9、2015汕头模拟)已知四棱锥PABCD的直观图和三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点 (1)求四棱锥PABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论；(3)若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小解：(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2.所以VPABCDS正方形ABCDPC122，即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BDAE.证明如下：连接AC，因为ABCD是正方形，所以BDAC.因为PC底面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDPC.又因为ACPCC，所以BD平面PAC.因为不论点E在何位置，都有AE平面PAC.所以不论点E在何位置，都有BDAE.(3)在平面DAE内过点D作DFAE于F，连接BF.因为ADAB1，DEBE，AEAE，所以RtADERtABE，从而ADFABF，所以BFAE.所以DFB为二面角DAEB的平面角在RtADE中，DF，所以BF.又BD，在DFB中，由余弦定理，得cosDFB，所以DFB，即二面角DAEB的大小为.
