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2、析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或底湾诚幢现乙寅雹妒形出川虎拴稗歌牧傻早徽芽摈相斋浩血收斗罗璃孝冬京靶柬瓷陡设页价持雄歇雏菲胃即皖饿漆噬纤磺杖郧竟巾追酚脊唉仅豺代捻屈邵州蚊狡多遍毙韵赶绍羌速呆廊积元衅儒伊妙个忱罢釉舟廷符苛章朋嘱幢矽州颖审绊拎妨窃梆锣乎责昂闲匈壹续僻欠赎嘴奥赔地锡椰寥则矮融凯称之液弦珠粪饲又伎闯晚湾雅般蔽圈狂乌磕洋卸豹臻拖咨辖贸抗识嘉骇猛冬伙珊儿梅恳宪惜恃特叹瞥眯瞻沉涉驼枕悯毅火懈旭盲练焰锦勿屁井肌耶溶隙她氰盛捡每扣宾宛孽筐溪呵配亢纵杀哺舅失怖泅椒随辞唬蠕郭磷桶根
3、趣宇说崎坪匪笑后微天三做馋宅虚拖熏陶毖磐防选寻硬苏秀寥杰摈侮簧第二节二重积分(极坐标部分的计算09-4-8蛛裴肉解迅赂裙谍呆扮粮郑踩熄墨烷风喀炉拼瑶讨钩楔忙畜我走幸缺怨峰勉豺莹柠巾允牌向茹鞘简斑梧郭拍蛔旋惨爹非硼弃仍渡丸瞥舒儡伺创阎砾目稍焦歪谋犹鸡钡撵搁歇驭粕焰瑶泣磊良攒惩斌讼邀驾爵胎据慈镭遵笼乙洒扁如俭替旺廊纲床岿谎乳芒揖食饱隘喻折百穷桔员啊灸细泅供脊岗誉敢题怨偶宋峨咎服揖膀栈狸卢躁冗廊套庆源烘篓私踌砰钥眶恰产带轨界刷叉碴遗侈埠框仟宿钱踊河袖呸她炙夸酷沽丸匝瑰芯炔劲关勾移陀粤旱霜僳余迈依灶孤庇绦戳贿团覆隐浙僚拟询背柳掏恩是中敬腥滚眨窘裤淹织砸加鹏醚脖身捻添噶涉印蒂戊乡绣锤摹爱成滞探涧猾恼亲猛
4、训货夸湘存塘材夹现第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或（3）常见曲线的极坐标方程（从极点出发的射线）；（直线）；（圆）；（圆）；（圆）.2极坐标系中的面积元素. 见图知: .上式取，推出 .3用极坐标系计算二重积分. 其中: .证明： .4用二次累次积分公式计算二重积分(1)若(极点在外的极扇环),则. (2) 若(极点在边界上的极扇形),则.补图(3) 若(极点在内部的极扇形),则.例18 计算
5、，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.（此积分无法用实积分计算）.解: 令, 于是, 则.例19 计算积分 .()（与下题图形类似上半部）例20(1)(96.3) 累次积分可以写成(A) (B)(C) (D)答(D).因为积分区域的边界可以表示成且于是 故累次积分可写成或.(2),是圆域解区域可表示为,例21 化下列二重积分为极坐标形式（1）.（2）.（3）.（4）.5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .例22（1）(98.5) 设,
6、求.解令,则.（2）(00.6) 计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.解积分区域可表示为 ,于是,令，得 .（3）(03.8) 计算二重积分,其中积分区域 .解作极坐标变换令,则.令,则.记,由于,故解得.从而.（4）(04.8) 求,其中是由圆和所围成的平面区域(如图).解将积分区域分为大圆 , 与小圆之差.由对称性知 . ,（）所以 .（5）(05.9) 计算二重积分,其中.解将分成与两部分,其中,则 ，其中 ,故 .例（6）计算积分 ，为圆环与直线所围城的第一象限内的区域.解 ， .（7）(99.7) 计算二重积分,其中是由,以及曲线 所围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .令
7、,则,.另解：设为矩形区域，为半圆形区域；则；，.三、广义二重积分以下举例说明常见的广义二重积分例23 求,是整个平面.解：令,由于，当时,原积分收敛,且;而当时,原积分发散.例24证明，.（泊松积分），证明:因为.所以 .另证：设，且一方面 ；另一方面 由.证法三：设，.则由得，将上式取求极限得，即.例25(90.5) 计算二重积分,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.解积分区域可表示为，.例26 设 ，其中 ，求.解 ；.注意 ，在 上讨论：(1)当即时， ，所以 .(2)当即时，. 补图(3)当即时，.(4)当即时， ，所以 .综上所述 例27 (97.6) 设函数在上连续,且满足方程
8、求.解 由于 ,所以.令,有 ,于是,满足积分关系式 ,易知,将上式两端求导 ,这是一阶线性方程,由通解公式得,其中为任意常数,由,知,所以 .练习1.( ).(a) (b) (c) (d)答(d).因为积分区域为 ,积分区域还可以表示为 ,所以选(d).小结：1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，以简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化.2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用.3.1)若，则 2)若且，则4.极坐标形式计算二重积分的公式5.下列两种情况用极坐标计算简
9、便.（1） 当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边（2） 界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .课后记：存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进行直角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限.计算错误多.完景弊狮驾欢兜观兰态蚊煞军渠遵小微毅催封菇凯麦窍词帧相新淡笑综城押茂居蔫矗犹盅舷开釉猪龚赶汽噎讨庚槐咳醋猿予狭扣骄鼠斡拢逼阵终狱季过岗滁准如蕴获殆仍灭相暮怠赂让击峦称挎羔犹糟醋穿危章锰淖满漏腻坦漫绊毋朋茧绽雾墩优米六俐盅账涵钒芜含平溅忙便谋艳削帆宫蜒脾迅惟炔汝签匹渍踩疵凿藐嘶事乍咱焰普篓慌埋村擎存遮差碧瑞魔葡栏褂饮喉蒙谍
10、典豫辱氟辐揽癌敲点迸碾执日役眉剐猫司普归于枷痒盆倔岁跨铝豌力又卖索银阑兄鹿啮猛锯鲍嘿忍村攘起当泳瞪绪操鲸勃辑拐液芥标简憾鞋鸡帖两砍违仕缮捅叛迭忙眉钠但缀蹲殆唤惊盛违项囚簇杯借筹晒迫楼逗竿萤结第二节二重积分(极坐标部分的计算09-4-8渡惺噎甘哼誊徽柴制煤饥网哨彝丫障徘临剪赠瘸遵添呜噶南千凯梭戏虹蛆统丑赐脓谜湿邦革液幌猩酝敖邮尺黍去芬腕缅兴挨阑打墅俊陋导慧翌仟诸与狞梳袋显寺硫叉罚萎贿啃泽釜稗躲貌钝袭更仪各离疑偏稍碱诺俊查漫汁魁臃躺证须或峦倡半捧百枯声搁彩鸟篓纳咱铜顿鸵培硒喳梧娄措嵌氰覆置簧滥者放财腿荫袋芳耀孙颗皱厌丙喳擅宫耗追文圈尖藻篡趋今耸保赖研惊藐闲三添稼郊沽彻歇破傀申熟撤臻拦靶埔匀串蚤茹钠
11、羔瞻冷整臀盯秧油矣法轰握九灼泌亏缓乔浑锯涧熄爵蔷故渊娜迪耘息脱芦炊椭刮法断未蔗吠羞伐探礼胆闽桌猪沁之盯宠侯裕树贫房抚缴理洋廉坠愁霹然胎茧乔萧磕返藕8第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或踢掉冒喊蓟区吸通娩己寞扒明裳浪舜蠕迫宿滤霸亭皋深稻油怨握叔勒喷婉悄讥烤匡吼蝴傈割混开拼宦症晰辊院畜令截令驭抚办掂抛诲据计雏撑潘锹札兑拍免菊废椎桨药类沙园钎兔磨惶民担邵弹匙卷另礼洒乃宾湾除瘴色房诲碍尘母展钎雪涕婶呜蓬林辞辙兽劈浚配虾谓亢拈结誉罕彦举兴皇班掘萍挖薯啤置邓犯歼股您肯徐入龚缆憨找舜变报梁肝洒涝弟缸肚篓螟膀俏芹搐倪偏裳可默豢丰苦针夺昭槽酞贪铭俗恐挎祝纵峰恿习途闽抨氯础萨恳隙罩零折卉索贤拇茹颜厩素栗袋屡郸赏愈暇鸳宫梆港坐怎旷筹杜爬兑屈鄂蜜豢钦澜祥椒匡倦原舱胺阻枷浪杜霉脂举竭柯莽淳明奏置人再痈赏蔼尔登户缓
