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1、湖南师大附中2013届高三第三次月考试卷数学（文科） 本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“函数 在R上是增函数”是“”的 （ B ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】若，即，则 在R上是增函数；反之不然，故选B.2.已知数列为等差数列，且，则的值为 （ A ）A B C D 【解析】因为a1a7a134，则a7，所以tan(a2a12)tan2a7tan，故选A.3.已
2、知，若，则下列各式中正确的是 （ C ） A. B. C. D. 【解析】因为函数在上是增函数，又，故选C.4.若，则的取值范围是 （ B ）A B C D 【解析】当时，从而，不合要求.当时，要使，则，即，所以，故选B.5.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则（ A ）A. 0 B.1 C. D. 2【解析】因为是定义在R上的奇函数，则.又的图象关于直线对称，所以.于是，故选A.6.如果圆柱的底面直径和高相等，且圆柱的侧面积是，则圆柱的体积等于 （ D ）A. B. C. D. 【解析】设圆柱的底面半径为，则高为，侧面积为.由已知，从而.所以圆柱的体积，故选D.7.的值等于 （
3、C ） A. B. C. D. 1【解析】原式（）ABCDEFGH.故选C.8.对于向量a，b，定义ab为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定ab的模|ab|a|b|sin(其中为向量a与b的夹角)，ab的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，ab依次构成右手系.如图，在直四棱柱ABCDEFGH中，BAD60，ABADAE2，则 （ D ）A. 4 B. 8 C. D. 【解析】据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上.因为四棱柱ABCDEFGH为直棱柱，则AE平面ABCD，所以向量与同向.又22sin60，所以，故选D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共3
4、5分，把答案填写在题中的横线上.9.若复数是纯虚数，则实数的值为 3 .【解析】由纯虚数概念有.10.设抛物线的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|BF| 8 .【解析】过点A，B，P分别作抛物线准线的垂线，垂足为C，D，Q，据抛物线定义，得|AF|BF|AC|BD|2|PQ|8.11. CD是锐角ABC的边AB上的高，且，则AB 90 .【解析】由，得，即.又三角形为锐角三角形，则，故AB90.12.已知直线l的参数方程为(t为参数），圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线的距离是.【解析】直线l的普通方程为，圆C的直角坐标方程为.所
5、以圆心C(1，1)到直线l的距离.13.已知定义在R上的函数，则f(3) 1 .【解析】由，得，所以.14.设a0为常数，若对任意正实数x，y不等式恒成立，则的最小值为 4 .【解析】，当时取等号.所以的最小值为，于是，所以a4，故的最小值为4.15.已知集合M1，2，3，4，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0. 设集合A的累积值为n.（1）若n3，则这样的集合A共有 2 个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有 13 个.【解析】若n3，据“累积值”的定义，得A3或A1，3，这样的集合A共有2个.因为集合M
6、的子集共有2416个，其中“累积值”为奇数的子集为1，3，1，3共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)yxAOQP如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，是坐标原点，且，.（）若点Q的坐标是，求的值；（）设函数，求的值域【解】（）由已知可得. （2分）所以. （6分）（）.（9分）因为，则，所以.故的值域是. （12分）17.(本小题满分12分)频率/组距分数90100110120130807000.0100.0050.0150.0300.0250.0200.0
7、35某中学高三文科共有四个班，第二次月考后，随机在各班抽取了部分学生的数学成绩进行统计分析.已知各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，且人数最少的班被抽取了22人. 从四个班抽取出来的所有学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中共有5人的成绩在120130分(含120分但不含130分). （）求各班被抽取的学生人数各为多少人？（）在被抽取的所有学生中任选一人，求该生的数学成绩不小于90分的概率. 【解】（）由频率分布直方图知，成绩在120130分的频率是0.005100.05. （2分）又成绩在该分数段的人数为5，所以抽取的学生总人数为人. （4分）因为各班被抽取的学生人数成等差数列，且首项
8、为22，设其公差为，则100，所以.故各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. （8分）（）由直方图知，分数不小于90分的频率为(0.0350.0250.010.005)100.75.故在被抽取的所有学生中任选一人，该生的数学成绩不小于90分的概率是0.75. （12分）18.(本小题满分12分)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将ABD折起，使BDC90.ABCDABCD（）求证：CD平面ABD；（）求二面角ABCD的余弦值.【解】（）因为ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以ADCD. （2分）又BDC90，所以BDCD. 因为AD与BD交于点
9、D，所以CD面ABD. （5分）ABCDE() 如图，取BC的中点E，连DE、AE因为ABAC，则AEBC. 因为BDCD，则DEBC.所以AED为二面角ABCD的平面角. （7分）因为ADBD，ADCD，所以AD面BCD.设AD1，则BDDC1，ABACBC.从而ABC是正三角形，所以AE. （10分）在RtADE中，sinAED. （11分）所以cosAED，故二面角ABCD的余弦值为. （12分）19.(本小题满分13分)某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项
10、投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加.（）设第年(2010年为第一年)的投入资金为万元，投资回报收入为万元，求和的表达式；（）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？【解】（）据题意，每年投入的资金依次成首项为800万元，公比为的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为的等比数列. （2分）所以，. （4分）（）设经过年的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，则，. （6分）由，得，即. （7分）设，代入上式整理得，解得或（舍去）. （9分）当时，；当时，. （11分）因为是减函数，所以当时，有成立，从而成立. （12分）答：从2014年
11、开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入. （13分）20.(本小题满分13分)设双曲线，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点、分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点已知在双曲线C上存在一点P，使得（）求双曲线C的离心率；（）设为正常数，若点Q在直线上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围.【解】（）由题设，点，其中.（1分）因为，则.设点P，则，所以，. （3分）因为点P在双曲线上，所以，即. （4分）因为，所以，即，故离心率 （6分）（）由（）知，则. （7分）若轴，则Q在x轴上，不合题意.设直线MN的方程为，代入，得，即. （*） （9分）若，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意.设点，则，. （10分）若点Q在直线上，则.因为点M、N在双曲线的右支上，所以m0，从而k4. （11分
