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1、求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积 分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积 分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利 用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一.计算曲线积分Jydx + xdy,其中L是圆x2 + y2二2x (y 0)上从原点LO(0,0)到 A(2,0)的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。-I x = x,1 x解1： OA的方程为fL由O t A, x由0 T 2, dy =dx.J ydx + xdyI y = J
2、2x x2,v2x x2=J2& 2x x2 + x(1 X dx02 x x2=x2 J2里二U + J2 x(1 x) dx00 x 2x x20 2x x2=44 0 = 0.分析：解 1 是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的， 选用的参变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解 法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积 分的下限。解2：在弧OA上取B(1,1)点,OB的方程为BA的方程为L 由 O t B, y 由 0 t 1, dx =dy.x =1J 一 y 2,v1 y 2L 由 B t A, y 由 1 t
3、0, dx = .dy.x =1 +、：1 y 2,1 y 2y2y 2=y2J ydx + xdy = J 1(+1 耳1 y2 )dy + J0 ( .+1 + JI y2 )dyL0 1 一 y211 一二 2f12 dy - 2l .1 - y2 dy = 2f1dy - 2y*1 - y 2 1 + 2f1-dy丫1- y20%.；1 - y200 1 - y2=-2（ i 口 - 0） = 0.分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在 方法类型上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示， 因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的
4、计算中都需选用在该部分 中参数的起始值作为定积分的下限。解 3： OA 的参数方程为 x = 1 + cos0, y = sin0, L 由 O t B t A, 6 由兀 t 0,dx = - sin 0 d0, dy = cos0 d0.f ydx + xdy =f0- sin20 + (1 + cos0 )cos0 d0 =f兀-COS0- cos 20 d0= (- sin0 -解4： OA的极坐标方程为r = 2cos0 ,因此参数方程为兀x=r cos0=2cos2 0,dy=r sin 0=2sin 0 cos 0,L 由O t b t a, 0 由 I t 0,dx = -4s
5、in0 cos0 d0, dy = 2(cos2 0 -sin2 0)d0.f ydx + xdy = f 0-8sin20 cos2 0 + 4cos2 0(cos2 0 - sin2 0)d0L21 冗31 丁=4j 2 3cos2 0 + 4cos4 0d0 = 4(3 一 4)=0.02 24 2 2分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5：添加辅助线段AO，利用格林公式求解。因P = y, Q = x,学-|P = 1 -1 = 0,于是 e
6、xcyf ydx + xdy = -ff 0dxdy,L+AOD而 f ydx + xdy = f 00dx = 0,2AO故得J ydx+ xdy = J - J 二 0.LL+AO AO分析:在利用格林公式J P( x, y )dx + Q( x, y )dy =Lax ayD积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助 曲线，采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但P, Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添 加了辅助线段AO,使曲线L + AO为正向封闭曲线。解6：由于P二y, Q = x, aQ = f
7、= 1,于是此积分与路径无关，故axayJ ydx + xdy = J ydx + xdy = J(2,0) ydx + xdy = J2 0dx = 0.OA(0,0)0L分析：由于P, Q在闭区域D上应具有一阶连续偏导数，且在D内aQ = aP ax ay因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的积分为在OA上积分，注意O点对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解7：由全微分公式ydx + xdy = d(xy),(2,0) = 0.(0,0)J ydx + xdy = J (2,0)d (xy) = xy(0,0)L 分析：此解
8、根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。 例二 计算曲线积分J(z - y)dx + (x - z)dy + (x - y)dz,其中C是曲线C+ *二1，从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。 x 一 y + z = 2,解1：设E表示平面x- y + z = 2上以曲线L为边界的曲面，其中E的正侧与xyL的正向一致，即E是下侧曲面，E在xoy面上的投影区域D : x2 + y2二1.由斯托克斯公式J (z 一 y) dx + (x 一 z )dy + (x 一 y) dz 二dydzadxdzdxaaydxdyaaZ=2JJ dxdy = 2 JJ dxdy = -2兀.SDxy解2:利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另形式求得出J (z 一 y )dx + (x 一 z )dy + (x 一 y )dz 二 JJCScos aadxcos Pddyx-zcos yd dS dz= (0 + 0 + 2cosy )dS,S 一 1 而平面S : x y + z = 2的法向量向下，故取n = 1,1,1, cosy = 3x2 + y 2 0, y
