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1、金融风险量4与空制公邮：第三讲灵敏度方法灵敏度方法由于名义值度量法存在明显的缺陷，人们开发出了更加精确的市场风 险度量方法灵敏度方法是其中较早提出的一种方法灵敏度方法的基本原理资产组合价格关于市场风险因子的映射关系为:P = P,现，孙，)1 n2 i,j=l再根据多元函数的泰勒展开式，近似地得到资产组合价格随市场因子 变化的二阶形式：d2 P dxidxj J可见，资产组合所面临市场风险的大小取决于两个因素：一是资产组 合的价格对风险因子变动的敏感性；二是市场风险因子本身变动的方 向和幅度一、希腊值余数希腊值系数金融衍生品的价格F可以表示成下面的形式：F = F(S,t,r,o)根据多元函数
2、的泰勒展开式，价格变化可以近似地表示为：dF 1 d2F 2dF dFAF x AS +5-(AS) + / + Ar + ActdS 2 dS2 dt dr de1 9=6AS + -r(A5)2 +0At + pKr + AAb其中：S表示标的资产的当前价格，t表示当前时间，r表示无风险利 率，。表示标的资产价格的波动率希腊值系数的含义6DeltadF dS金融衍生品价格关于其标的资产价格的一阶导数，表示金 融衍生品价格对其标的资产的线性或一阶敏感性rGammad2F dS2dS金融衍生品价格关于其标的资产价格的二阶导数，也是金 融衍生品的灵敏度系数6关于标的资产价格的一阶导数，反 映了灵
3、敏度系数6对标的资产价格的灵敏性，或者说计量了 金融衍生品价格变化对标的资产价格变化的非线性敏感性0ThetadF dF金融衍生品价格关于时间的一阶导数，反映金融衍生品价 格随着时间的推移而发生的变化，该系数计量了金融衍生 品价格对时间变化的敏感性PRhodF dr金融衍生品价格关于利率的一阶导数，用以计量金融衍生 品价格关于利率的线性或一阶敏感性AVegadFda金融衍生品价格关于标的资产价格波动性的一阶导数，用 以计量衍生品价格对其标的资产价格波动性的线性或一阶 敏感性希腊值系数的计算无收益资产组合的远期合约不付红利的欧式看涨期权F = S（t）-Ke-ra-l）C = S（4） - Xe
4、-）（4）Delta1N（4）0Gamma0N”0 Scrjr-tThetaS，S-rKeT（J）-S叫（d】） rXeFTT）N（d,）0X（T-V（f N）。Vega0SNdjjT-t 0希腊值系数的举例60.522dF dS当股票价格上涨0.l美元，同时其他因素不变，期权价格会 上涨0.522 x 0.1=0.0522美元r0.066d2F dS2dS当股票价格上涨0.1美元，同时其他因素不变，期权的6将增 加0.066义0.1=0.0066美元0-0.012dF dt一天时间过去以后，同时其他因素不变，期权价格会下降 0.012美元P0.089 (1%)dF dr当利率上涨了 1% （
5、100个基点），同时其他因素不变，期权 价格会上涨0.089A0.121(1%)dF de当股票价格变化率上涨0.5%,同时其他因素不变，期权价 格会上涨0.121义0.5=0.0605美元例：基于Delta的计算求：一资产组合对于S&P500的Delta为-2100, S&P500的当前市价为1000,请计算当S&P500上涨到1005时，资产组合的价格变化为多少?答：-2100X (1005-1000) =10500,即资产组合的价格下降10500例：基于Gamma的计算求：一Delta中性的资产组合的Gamma为30,请计算以下两种标的资产 价格变化对资产组合价格的影响：(1)标的资产突
6、然上涨2美元(2)标的资产突然下跌2美元答：(1) 0.5X30X22=60美元(2) 0.5 X 30 X (-2)2 =60美元求：一衍生品组合对于USD/GBP汇率的Vega为200 (每1%变化)，请 估算当波动率由12%变为14%时，衍生产品组合的价格变化为多少？答：200X (14-12) =400,即衍生产品组合的价格上涨400例：基于希腊值的风险管理某一资产 组合为Delta中性，Gamma为-5000, Vega为-800。假定某个交易所交易期权的Gamma为0.5, Vega为2.0, Delta为0.6,为 使得资产组合Vega中性，购买4000个交易所交易期权，但这样会
7、使资 产组合的Delta增至2400,为了保证Delta中性，必须卖出2400个单位的 标的资产,但此时Gamma仍为-3000为了保证 资产组合Gamma和Vega都中性，我们引入第二个交易所交 易期权，此期 权的Gamma为0.8, Vega为1.2, Delta为0.5,我们用出和 叱来表示两个交易期权的头寸，我们要求：-5000+0.531+0832=0,以 A-8000+2.0(d1+1.2(d2=0o 以上两式求解得：3尸400,(o2=6000此时，交易组合Delta变为：400X0.6 + 6000X0.5 = 3240,因此，必须 卖出3240单位标的资产以保持交易组合的De
8、lta中性作业：基于希腊值的风险管理一金融机构持有如下场外期权交易组合:期权种类头寸数量期权的Delta期权的Gamma期权的Vega看涨 看涨 看跌 看跌-1000-500-2000-5000.500.80-0.400.702.20.61.31.81.80.20.71.4某交易所交易期权的Delta为0.6, Gamma为1.5, Vega为0.8。求：(1)怎样的交易可使场外交易同时达到Gamma和Delta中性？(2)怎样的交易可使场外交易同时达到Vega和Delta中性？(3)引入第二种交易所期权，假定期权的Delta为0.1, Gamma为0.5, Vega为0.6,怎样的交易可使场
9、外交易组合的Delta、Gamma和Vega均 为中性二、久期单利利率终值：G =。0（1+日）现值：c _ C （1+。）一年一次复利利率终值：G=G（i+y）现值：C, C。二百一年m次复利利率终值:孰=5(1 +2)” m现值:连续复利利率终值：G =孰斓现值:证明如下：Ct =limC0(l + 2)” =Co，” ms m债券价格当利率为连续复利时，债券的价格为:Tp=cLt=l当利率为离散复利时，债券的价格为:T Cye利率风险的久期计量：连续复利PAy 二-DPy当利率有微小变化时:AP。竺 Ay =_ Ay =（-ZC）Ay = 一-其中，定义久期为:dydy，=iT仁1P变化
10、可得:X QAy司in友即反映了债券价格随利率变化的情况，或者说久期是债券.格弱率屋感性的良性度量，从而是计量债券利率风险的灵敏度指标久期（Duration）当利率为连续复利时，久期为:TV tc ”yt乙 T tc eyt T tc eyt T c -yt tD =r t= r t= eyt r=1 c yt t=xt=t=久期，又称存续期，是以现金流剩余期限用现值加权平均数形式计算 债券的平均到期期限，是衡量债券持有人在收到现金付款之前平均需 要等待的时间，一般以年表示例：久期的计算面值为100元，票面利率为10%的3年期债券，每6个月付息一次。该债 券连续复利的年收益率为12 %期限（年
11、）现金流现值权重时间x权重0.51.01.52.02.53.0555551054.7094.4354.1763.9333.70473.2560.0500.0470.0440.0420.0390.7780.0250.0470.0660.0830.0982.333合计13094.2131.0002.653表中第3列为计算出的现值（如第一次付息的现值为5e-o2xo.5=4.7O9）,第 3列数字之和等于债券价格94.213,第3列数字除以94.213,可得到久期的 权重，第5列数字之和等于久期例：用久期计算债券价格变化上例描述的债券价格为94.213元，久期为2.653年AP x -DPAy =
12、-2.653 x94.213Ay = -249.95Aj当收益率增加了 10个基点(0.1%),即Ay =+0.001,价格变化为：P -249.95 x 0.001 = -0.250即债券价格会下降到94.213-0.250 = 93.963为了检验该计算的准确性，我们计算当收益率增加10个基点到12.1% 时的债券价格-10.121x0.5-10.121x1.0-10.121x1.5-10.121x2.0-10.121x2.5|q-10.121x3.0= 93.963利率风险的修正久期计量：一年1次离散复利当利率有微小变化时:dPP x Ay =dyTT C(i + y)dy-)“ T t
13、c1 T tC-Ay =(-Z 777)4=一(Z TTTW121t=(1 + yY尸Ay =i- DPAy = - D PAy 1 + y1 + y；=i (1 + y)i + y r=i (1 + y)其中，定义久期为:3a(l + W ly -修正久期定义修正久期为:n* DD =1 + y得:AP Q -D*PAy离散复利下久期的进一步分析当利率为离散复利时，久期为：弋_2_2S_n tr(i + y)z _y2X D =-I P=、(i + y)_ _ 乙 cr=l、 y(i + y)T=(/=1(i+y) 、IT/T y r=i(i + y)练习：计算一年m次复利的修正久期计算一年
14、m次复利的修正久期/)* = _2_1+上m例：用修正久期计算债券价格变化债券价格为94.213元，久期为2.653年，每年2次复利的收益率为12.3673 ,修正久期为：D* = 口 =2.653= 2 4985y， 0.123673, 91 + 1 +m2P - D*PAy = -94.213x2.4985Ay = -235.39Ay当收益率(一年2次复利)增加10个基点(0.1%) , KpAy = +0.001, 价格变化为：AP 235.39 x 0.001 = -0.235即债券价格会下降到94.213-0.235 = 93.978债券组合的久期债券组合的久期为单个债券久期的加权平均K pDp=，/=1 r证明如下
