湖南省2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,则为( )A. B. C. D.2．已知复数,则复数z的实部与虚部之和为( )A.0 B.1 C. D.23．某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析,统计每次骑行期间的身体综合指标评分x与骑行用时y（单位：小时）如下表：身体综合指标评分12345用时小时）9.58.87.876.1由上表数据得到的正确结论是( )参考数据：,,.参考公式：相关系数.A.身体综合指标评分x与骑行用时y正相关B.身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较弱C.身体综合指标评分x与骑行用时y的相关程度较强D.身体综合指标评分x与骑行用时y的关系不适合用线性回归模型拟合4．已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等,则n的值为( )A.5 B.6 C.7 D.85．已知函数是定义在R上的偶函数,对任意实数x,.当时,.则的值为( )A.0 B.1 C. D.6．已知点,抛物线的焦点为F,P为抛物线上一动点,当P运动到时,,则的最小值为( )A.6 B.5 C.4 D.37．湖南省衡阳市的来雁塔,始建于明万历十九年（1591年）,因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度,因地理条件的限制,分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点,已知点A为塔底,在水平地面上,来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得,在C点处测得E点的仰角为30°,在E点处测得B点的仰角为60°,则来雁塔AB的高度约为( )（,精确到）A. B. C. D.8．已知圆,点M段上,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,以为直径作圆,则圆的面积的最大值为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知函数的图象经过点,则下列结论正确的是( )A.函数的最小正周期为B.C.函数的图象关于点中心对称D.函数在区间单调递减10．已知函数是定义域为R的偶函数,是定义域为R的奇函数,且.函数在上的最小值为,则下列结论正确的是( )A. B.在实数集R单调递减C. D.或11．在棱长为2的正方体中,M,N分别是侧棱,的中点,P是侧面（含边界）内一点,则下列结论正确的是( )A.若点P与顶点重合,则异面直线与所成角的大小为B.若点P段上运动,则三棱锥的体积为定值C.若点P段上,则D.若点P为的中点,则三棱锥的外接球的体积为三、填空题12．在中,,点M满足,若,则的值为_______________.13．已知,则等于_______________.14．已知,是椭圆C的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,则椭圆C的离心率取值范围为_________________.四、解答题15．已知等差数列的前n项和为,且,.等比数列是正项递增数列,且,.(1)求数列的通项和数列的通项；(2)若,求数列的前项和.16．如图1,在五边形中,连接对角线,,,,,将三角形沿折起,连接,得四棱锥（如图2）,且,E为的中点,M为的中点,点N段上.(1)求证：平面平面；(2)若平面和平面的夹角的余弦值为,求线段的长.17．三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版,球场为米,比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神,丰富学生业余生活､组织“挑战擂王”三人篮球赛,为了增强趣味性和观赏性,比赛赛制为三局二胜制,即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利,若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”公牛队,李明是公牛队的主力球员,据以往数据分析统计,若李明比赛没有被罚出场,公牛队每局比赛获胜的概率都为,若李明被罚出场或李明没有上场比赛,公牛队每局比赛获胜的概率都为,设李明每局比赛被罚出场的概率为且.(1)若李明参加了每局的比赛,且（i）求公牛队每局比赛获胜的概率；（ii）设比赛结束时比赛局数为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望；(2)为了增强比赛的娱乐性,勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛,但若李明被罚出场,则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A为公牛队2：0获得挑战赛胜利,求事件A的概率的最小值.18．已知双曲线的左､右焦点为,,点在双曲线的右支上.且,三角形的面积为.(1)求双曲线E的方程；(2)已知直线与x轴交于点M,过M作斜率不为0的直线,,直线交双曲线E于A,B两点,直线交双曲线E于C,D两点.直线交直线l于点G,直线交直线l于点H.试证明：为定值,并求出该定值.19．已知函数,,e是自然对数的底数,.(1)当时,求函数的零点个数；(2)当时,证明：；(3)证明：若,,则.参考答案1．答案：D解析：由,得,又集合,所以.故选：D.2．答案：B解析：因为,所以复数z的实部与虚部之和,故选：B.3．答案：C解析：因为相关系数.即相关系数近似为-1,y与x负相关,且相关程度相当高,从而可用线性回归模型拟合y与x的关系.所以选项ABD错误,C正确.故选：C.4．答案：A解析：因为且,由题意知,得,求得,故选：A.5．答案：B解析：由已知为偶函数,所以,又,所以,所以,所以函数是周期为2的周期函数,结合时,,故,故选：B.6．答案：A解析：由抛物线的定义可知,,所以,所以抛物线的方程为,过点P作垂直抛物线的准线,垂足为,则,当且仅当,P和M三点共线时等号成立.故选：A.7．答案：B解析：过点E作,交于点F,在直角三角形中,因为,所以,在直角三角形中,因为,所以,则.故选：B.8．答案：D解析：由题意知：圆是以为直径的圆,则当最大时,圆的面积最大,,,又圆C是以为圆心,2为半径的圆,,又,,当或时,,,圆面积的最大值为.故选：D.9．答案：ABD解析：对选项A,依题意函数的周期为,所以选项A正确；对选项B,因为,即,又,所以,所以选项B正确；对选项C,因为,又,所以点不是的中心对称,所以选项C错误；对选项D,因为,所以,因为在单调递减,所以函数在区间单调递减,所以选项D正确.故选：ABD.10．答案：AC解析：A,因为为偶函数,所以,又为奇函数,所以,因为①,所以,即②,由得：,,所以选项A正确；B,因为函数在R上均为增函数,故在R上单调递增,所以选项错误；C、D,因为,所以,又,当,即时等号成立,,设,对称轴,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,则,解得或（舍）；当时,在上单调递增,,解得：,不符合题意.综上,所以选项C正确,错误.故选：AC.11．答案：BCD解析：A,因为,又点P与顶点重合,所以是异面直线与DP所成角,其大小为,故A错误；B,因为M,N是侧棱,的中点,所以,又点P段上,所以三棱锥的体积（定值）,故B正确；C,因为点P段上,连接,,,因为平面,平面,则,又为正方形,则,且,,平面,则平面,且平面,可得,同理可得,又平面,则平面,因为平面,所以,故C正确；D,因为点P为的中点,连接,记与的交点为O,取的中点为F,连接,,则,又,所以点O为三棱锥的外接球的球心,所以三棱锥的外接球的半径为,所以三棱锥的外接球的体积为,故D正确.故选：BCD.12．答案：解析：由题意可得：.所以.故答案为：.13．答案：解析：.故答案为：.14．答案：解析：设椭圆长轴长为,焦距为,因为,由椭圆的定义可得,所以,.又因为,,中由余弦定理可得：.化简得,由对勾函数的性质可知,在区间上单调递增,所以,所以,可得,所以椭圆C的离心率取值范围为.故答案为：.15．答案：(1),(2)（或）解析：（1）由题意,设等差数列的首项为,公差为d,又,所以解得,故,因为数列为各项为正的递增数列,设公比为q,且,因为,所以,得,又,所以,即,又,解得,从而,所以；（2）由（1）得,所以,所以数列的前项和为（或）.16．答案：(1)证明见解析(2)1解析：（1）连接,则,因为,,所以四边形为矩形,所以,因为,且E为的中点,所以,且,所以,即,又因为,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.（2）以E为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,设,则,所以,,设平面的法向量为,则令,则,,得,又,,设平面的法向量为,则令,则,,得,所以,解得,或（舍）,所以线段的长为1.17．答案：(1)（i）；（ii）分布列见解析,期望为(2)解析：（1）（i）记表示事件“第i局公牛队获胜”,表示事件“球员李明第i局没有被罚出场”,.由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为.（ii）由已知随机变量X的可能取值为2,3.,,随机变量X的分布列如下表：X23P.（2）依题意事件A擂王公牛队获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚出场；第一局李明没有被罚出场,第二局被罚出场；第一局李明被罚出场,第二局不能参加比赛.所以.又,则当时,.即事件A的概率的最小值为.18．答案：(1)(2)证明见解析,解析：（1）因为,所以,得,又三角形的面积为,得,所以,得,代入双曲线方程得,得,（舍）,所以双曲线E的方程为：.（2）由题意,,且,斜率存在且不为0,设,,,,,由几何性质可知,联立方程得,且恒成立,,同理可得：,直线方程：,令,得,同理：,因为,所以,所以.19．答案：(1)有两个不同零点(2)证明见解析(3)证明见解析解析：（1）因为定义域为R,所以,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,所以,又,,由零点存在性定理可知在区间和上各存在一个零点,所以有两个不同零点.（2）当时,,由,得,令,则,当时,在上为减函数,当时,在上为增函数,所以,而,且,所以,即.（3）由已知,即,因为,令为开口向上的二次函数,对称轴为,令,所以,当时,,函数单调递增；当时,,函数单调递减,所以,即,故在区间上单调递增,所以,从而只需证明即可,即证,令,则,令,则,所以函数单调递减,且,所以当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,故,即,从而不等式得证.。