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1、漳州师范学院毕业论文函数模型及其在解决实际问题中的应用Function Model and Its Application inSolving the Practical Problems 姓 名： 学 号： 系 别： 专 业： 年 级： 指导教师： 2012年1月4日摘要 本文论述了数学模型的概念、函数模型及其解题步骤，并对中学常见的函数建模类型归类分析，包括一次函数模型、二次函数模型、三角函数模型、指数函数模型以及对数函数模型，同时针对建立函数模型提出几点注意事项。 关键词：函数模型；实际问题；应用AbstractThis article discussed the concept of
2、mathematical models and function model, as well as steps of solving problem in function model. Some common types in middle school were analyzed in this paper, including linear function model, quadratic objective function mode, trigonometric function model, exponential function model and logarithm fu
3、nctions model. At the same time, aiming at the construction of function model, some points for attention were put forward.Keywords: function model; practical problems; application目 录中英文摘要（I）引言（1）1函数模型（1） 2应用函数模型解题的步骤（1）2.1读懂题意， 加深理解（1）2.2引进数学符号，建立函数模型（2）2.3求解函数模型（2）2.4还原模型（2）3函数模型在中学数学中的应用（2）3.1幂函数模
4、型（2）3.1.1一次函数模型（3）3.1.2二次函数模型（4）3.2三角函数模型（5）3.3指数函数、对数函数模型（7）4注意事项（9）结束语 （10）参考文献 （11）致谢 （12）引言2001年，2003年相继颁布了全日制义务教育数学课程标准（实验稿）和普通高中数学课程标准（实验），新课程标准下强调数学与人的发展和现实生活之间的联系，因此重视开展数学应用教学活动是十分有必要的。数学模型的思想方法在真正意义上将“学数学”与“用数学”紧密结合在了一起，因而数学模型的思想方法在今后的数学教学中必然起着不可替代的作用，它必定不可避免地成为解决问题的“新武器”。数学模型是近些年发展起来的新学科，随
5、着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。纵观近几年的中考题和高考题，不难发现应用题的分数比重加大了，这些应用题多是围绕数学建模，考察学生应用数学解决实际问题的能力，其中不乏建立函数模型解决实际问题的题目。函数是中学最重要的基础内容之一，因此建立函数模型的思想方法成为解题的重要手段。本文就针对中学中建立函数模型这一思想方法以及它的实际应用展开讨论。1函数模型现在数学模型还没有一个统一的准确的概念，不过可以给出如下定义：所谓数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构1。这里
6、所说的结构必须是数学结构，也就是经过数学抽象后，保留下来的用数学符号、数字和数学概念等描述的纯关系的简化结构。在一定意义上，数学模型是对实际问题的抽象反映，它可能完整地反映了实际问题，但也可能实际问题中的某些部分在模型中表达不出来，此时数学模型近似地反映这些概括的特征。可见，实际问题是数学模型的现实原型，通过对实际问题进行数学抽象转化为数学模型，再在所得的模型上进行逻辑推理、数学演算，得出相应的数学结果，最后将得到的结果返回到实际问题中去，形成解答实际问题的最终答案。数学模型可以分为许多种，比如方程或不等式模型，平面几何模型，空间几何模型等等，其中函数模型是解决实际问题非常重要的一种思想方法。
7、在中学数学中，函数占据着举足轻重的地位。数学和生活是相通的，其中函数就是刻画现实世界变量之间关系的一种非常重要的模型。当实际问题中的事物存在某种联系时，可以用某种关系将事物之间的这种联系表示出来，探索出来的这种关系往往是现实问题中的规律，而在数学中，所探索出来的数量关系或变化规律其实就是各种函数所构成的函数模型2。因此，建立函数模型实际上就是将实际问题中的数量关系抽象为数学函数关系，并确定变量的限制条件，构造相应的函数模型，再通过对函数模型的研究，使实际问题得以解决的一种过程。2 应用函数模型解题的步骤在应用函数模型解答实际问题时，一般要按照以下几步进行：2.1读懂题意，加深理解认真审题，弄清
8、实际问题的基本情形，尤其要搞懂题目所涉及的一些实际问题中的名词术语，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念。在明白实际背景之后，要加深对问题的理解，仔细分析问题中对象的属性、特征以及实际问题中的数量关系。2.2引进数学符号，建立函数模型舍去问题中修饰的语句，提取有用的信息，明确所要研究的实际问题中的关键性的对象和对象间关系，然后进行数学抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画对象及对象间的数量关系，建立函数模型。2.3求解函数模型在所得函数模型的基础上，运用恰当的函数的性质或方程的观点，如函数的单调性、最值定理等进行逻辑推理、数学演算，得出相应的结果。2.4
9、还原模型对模型得出的结果进行验证或评估，再将结果返回到实际问题中去，分析所得到的结果是否满足现实原型，由于实际问题可能存在条件的限定，所以必要时需要对结果进行取舍，最后得到实际问题的答案。用函数解决实际问题的步骤，可以用下图进行更直观地表示：求出合理验证不合理抽象分析列 出解的合理性解释实际问题数学问题已知量、未知量、等量关系函数的解函数模型还 原图13 函数模型在中学数学中的应用函数是中学数学最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物中的细胞分裂问题，测量问题等。虽然这些现实问题都可以通过函数模型
10、得以解决，但是具体问题具体分析，不同的实际问题，还是需要运用不同的函数模型。下面具体分析各类函数模型在中学数学中的应用。3.1幂函数模型幂函数模型是指一类通过幂函数建立起来的数学模型。形如的函数叫做幂函数。在气象学、工程学等科学与生产实践中都蕴含着幂函数关系，这是一种应用十分广泛的函数模型。随着指数的不同，幂函数会表现出一些特殊的性质，就中学阶段而言，一次函数模型和二次函数模型是运用得最多也是最重要的两类幂函数模型。下面针对这两类特殊的幂函数模型作具体介绍。3.1.1一次函数模型一次函数模型：能用一次函数表达的数学模型叫做一次函数模型。一次函数是中学阶段一种重要的函数，它的解析式是，由解析式可
11、以发现一次函数具有一些性质：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比，且比例为，所以当时，一次函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减。近年来中考出现的实际应用设计题中的许多是通过构建一次函数模型来解决的。一次函数的解决题大致可以分为两类：一类是以行程问题为背景，考察路程与时间或速度在不同阶段的函数关系，这类试题一般会给出路程-时间或路程-速度的函数图象，需要考生数形结合，得出函数解析式。另一类是决策问题，探求最优解。这类题目往往与方程、不等式（组）结合在一起，需要灵活运用不等式（组）及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。有关一次函数的实际问题的自变量的取值范围总是隐藏在题
12、目的条件中或需要用不等式来确定自变量的范围，有关一次函数的应用题知识面覆盖比较大，包括一次函数的图象、性质、概念、解析式以及与方程、不等式结合建立一次函数模型。下面就以决策问题为例，来说明如何运用一次函数模型解答实际问题。例1 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，先后向客户提供两种优惠方案:买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的90%付款，某商店老板现要购买西装20套，领带条。请你帮老板制定最省钱的购买方案3。解析 这是一道结合实际设计的商品经济问题，其背景是所熟知的购买问题。由题可知，问题是要设计出最省钱的购买方案，因此必须先要进
13、行购买方案的设计，题目已经给出了两种优惠方案，。但是要注意第种方案的设计：同时选择，两种方案，具体说就是先按照方案购买20套西装，使免费得到的领带最多，再按方案购买余下的领带。根据三个方案，可以很容易地表示出购买总价钱与购买西装、领带之间的数量关系：方案需付费为：20套西装的总价钱+20条以外的领带的价钱，方案需付费为：西装和领带的总价钱90%；方案需付费为：20套西装的总价钱+20条以外的领带的总价钱90%。到此就会发现，这是一道建立一次函数模型解应用题的题目。将数量关系转化为数学符号，建立一次函数模型。方案需付费为：20020+（-20）40=（元）；方案需付费为：（20020+40）0.9=36+3600（元）；方案需付费为：20020+（-20）400.9=36+3280（元）。接着根据三个一次函数，判断当自变量（20）变化时，选择什么方案最省钱。比较方案和方案，无论取何值3600+3636+3280恒成立。所以方案比方案更省钱。这样问题就转化为了方案与方案的比较。设。当时，可得，即当时，方案比方案更省钱。综合上面的讨论，可以得出结论：某商店老板要购买西装20套，领带（）条时，选择方案最省钱。总结 此题考查的知识点是一次函数模型的应用。解决问题时要先读懂题意，找到所求的量的等量关系，建立一次函数模型，然后
