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1、第八讲平面向量1(向量平行的坐标表示)(2013陕西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()AB.C或 D0【解析】由abm212m或m.【答案】C2(向量的线性运算)(2013四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.【解析】由向量加法的平行四边形法则，得.又O是AC的中点，AC2AO，2，2.又，2.【答案】23(向量的数量积)(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90，则实数t的值为_【解析】ABO90，0.又(2,2)(1，t)(3,2t)，(2,2)(3,2t)62(2t)0.t5.【答案】5
2、4(平面向量的基本定理)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图231所示，若cab(，R)，则_.图231【解析】以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.【答案】45(向量数量积的性质)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_【解析】由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，
3、b.【答案】平面向量的概念与运算 (1)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.(2)(2013山东高考)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【思路点拨】(1)求向量a2b的坐标，再依据向量共线的条件求k.(2)以，为基底，利用向量垂直的充要条件，表示出关于的方程，进而确定参数的值【自主解答】(1)a(，1)，b(0，1)，a2b(，3)又(a2b)c，且c(k，)从而3k0，k1.(2)，又，0.则()()(1)22(1)32940，.【答案】(1)1(2)1第(1)题主要利用向量共线的坐标表示第(2)题运用平面向量垂直的条件是解题的
4、关键，本题易出现“”这种错误，解题时要特别注意2运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”变式训练1(1)(2013湖北高考改编)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为_(2)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.abB.abC.ab D.ab【解析】(1)(2,1)，(5,5)，在方向上的投影是.(2) 如图，ab0，ab，ACB90，AB.又CDAB，AC2ADAB，AD.(ab)ab.【答案】(1)3(2)D平
5、面向量的数量积 (1)(2013湖南高考)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1B.C.1 D.2(2)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是_【思路点拨】(1)由ab0，求出|ab|的值，利用向量模的性质求|c|的最大值(2)依据向量的夹角与模的计算公式求解【自主解答】(1)|ab|2a22abb22，|ab|，又|cab|1，|c|ab|cab|1.从而|c|ab|11.(2)设点Q(x，y)，由|，得x2y2100.向量与的夹角为，且点Q在第三象限，cos .6x8y50.由得或
6、又点Q在第三象限，点Q的坐标为(7，)【答案】(1)C(2)(7，)1第(1)题求解的关键是利用数量积的性质，求出|ab|，第(2)题主要利用向量模与夹角的性质，转化为代数运算，该题常见的错误是忽视隐含条件(点Q在第三象限)导致增解2向量的坐标表示，可使向量运算代数化；从而用代数方法研究几何问题，有关向量的长度、夹角与垂直问题常运用平面向量的数量积的性质解决变式训练2(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_【解析】设AB的长为a(a0)，因为，于是()22a2a1，由已知可得a2a11.又a0，a，即AB的长为.【答案】平面向量与三角函
7、数的交汇问题 (2013连云港质检)已知向量m(sin x,1)，n(Acos x，cos 2x)(A0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在0，上的值域【思路点拨】(1)利用数量积的意义，求f(x)并化简，由f(x)的最大值求A.(2)依据图象变换求g(x)的解析式，进而确定函数g(x)的值域【自主解答】(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xA(sin 2xcos 2x)Asin(2x)因为A0，由题意知A6.(2)由(1)得f(x)6
8、sin(2x)将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin2(x)6sin(2x)的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y6sin(4x)的图象因此g(x)6sin(4x)由x0，知4x，sin(4x)1，故函数g(x)，x0，上的值域为3,61本题以向量的数量积为载体考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，常见的错误主要是第(2)问中混淆平移变换的意义，错求g(x)6sin(4x)2平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解，常用到向量的数量积、向量的代数运算，以及数形结合思想变式
9、训练3(2013辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【解】(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题，
10、重点考查运算能力与数形结合思想数形结合求解向量数量积问题 (2013郑州模拟)设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，60，则|c|的最大值等于()A2B.C.D1【解析】ab，且|a|b|1，cos.120.如图所示，将a，b，c的起点平移至同一点O，则ac，bc，ACB60，于是四点A，O，B，C共圆即点C在AOB的外接圆上，故当OC为直径时，|c|取最大值由余弦定理，得AB，由正弦定理，得2R2，即|c|的最大值为2.【答案】A【阅卷心语】易错提示(1)数形结合意识不强，难以入手，不懂运用几何性质，盲目求解，无果而终(2)在AOB的边角计算中，运算能力差，导致计算错误防范措施(1)树立数形结合意识，向量是数形结合的载体，解答本题的关键在于将向量a，b，c的起点平移至同一点O，根据题设条件，得到A，O，B，C四点共圆(2)重视平面向量的工具性作用，加强向量与几何、三角交汇问题的训练1在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A.B2C5D10【解析】(1,2)(4,2)440，S四边形ABCD|25.【答案】C2已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则_.【解析】在等边ABC中，|2，|cos 602.又(1)，(1)()，即(1)2(1)2.化简得42410，所以.【答案】
