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1、数学教案复数的乘法与除法 教学目标 1掌握复数乘法与除法的运算法那么，并能熟练地进行乘、除法的运算； 2能应用i和 的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题； 3让学生领悟到“转化这一重要数学思想方法；4通过学习复数乘法与除法的运算法那么，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。教学建议一、知识结构二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法那么及复数的有关性质。复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把 换成1，并且把实部与虚局部合并。很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘
2、法对加法的分配律。规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，假设分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数。三、教学建议 1。在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法那么规定按照如下法那么进行。设 是任意两个复数，那么它们的积：也就是说。复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把 换成一1，再把实部，虚局部别合并，而不必去记公式。 2。复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有： ，
3、 ， ；对于复数 只有在整数指数幂的范围内才能成立。由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法那么扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如 ，假设由 ，就会得到 的错误结论，对此一定要重视。3。讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数 ，使它满足 这里 ， 是的复数。列出上式后，由乘法法那么及两个复数相等的条件得：，由此 ，于是也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1的认识，想到-1至少还有一个虚数根 。然后再回忆例2的解题过程，发现其中所有的“-号都可以改成“。这样就能找出-1的另一个虚数根 。所以-1在复数集C内至少有三
4、个根：-1， ， 。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。 5。教材194页第6题 这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。教学设计例如复数的乘法教学目标 1。掌握复数的代数形式的乘法运算法那么，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算； 2。理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律； 3。知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质。教学重
5、点难点 复数乘法运算法那么及复数的有关性质。 难点是复数乘法运算律的理解。教学过程设计1。 引入新课 前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法那么与两个多项式相加减的方法一致。那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的方法进行呢？ 教学中，可让学生先按此方法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课。2。 提出复数的代数形式的运算法那么： 。 指出这一法那么也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法那么一致，因此，不需要记忆这个公式。3。 引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。4。 讲解例1、例2 例1 求 。 此例的解答可由学生自己完成。然后，组织讨
6、论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： 。 教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明： 。 例2 计算 。 教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算。比方说第一组按 进行计算；第二组按 进行计算。讨论其计算结果一致说明了什么问题？5。 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质 教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂。6。 讲解例3 例3 设 ，求证：1 ；2讲此例时，应向学生指出：1实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；2复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的。 此后引导学生思考：1课本中关于2小题的注解；2如果 ，那么 与 还成立吗？7。 课堂练习 课本练习第1、2、3题。8。 归纳总结 1学生填空：； 。 设 ，那么 ， ， ， 。 设 或 ，那么，。 2对复数乘法、乘方的有关运算进行小结。9。作业 课本习题5.4第1、3题。
