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1、反比例函数与一次函数综合一、反比例函数的定义k函数y-(k为常数,k丰0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是函数,自变量xx的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象k反比例函数y-(-为常数,-丰0)的图像由两条曲线组成,每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来x越接近坐标轴,反比例函数的图像属于双曲线.kk反比例函数y-与y,-(-丰0)的图像关于x轴对称,也关于y轴对称.xx三、反比例函数图象的性质k反比例函数y一(-为常数,-丰0)的图像是双曲线;x当-0时,函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当-0
2、时,函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,y随x的增大而增大.注意:-反比例函数y(-丰0)的取值范围是x丰0.因此,x 图象是断开的两条曲线,画图象时,不要把两个分支连接起来. 叙述反比例函数的性质时,一定要加上“在每一个象限内”,-如当-0时,双曲线y-的两支分别在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.x这是由于x丰0,即x0或x0的缘故.如果笼统地叙述为-0时,y随x的增大而增大就是错误的.由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,所以图象和x轴、y轴都没有交点,但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势.在画出的图象上要注明函数的解
3、析式.一、反比例函数与一次函数综合22【例1】如图,是一次函数y-x+b与反比例函数y2的图像,则关于x的方程-x+b2的解为()xxAx1,x212Cx1,x212Bx2,x112Dx2,112b一3【巩固】若一次函数y3x+b和反比例函数y=的图像有两个交点,当b时,有一个交点的x纵坐标为6.y,Bx,y两点,122【例2】直线ykx(k0)与双曲线y=4交于Axx1巩固】直线yaxa0与双曲线y=-交于Ax,y、Bx,y两点,x1122【例3】在平面直角坐标系xOy中,直线y=x向上平移1个单位长度得到直线l.直线l与反比例函数y=-的图象的一个交点为Aa,2),则k的值等于.x【巩固】
4、在平面直角坐标系Oxy中,直线y=-x绕点O顺时针旋转90。得到直线l.直线l与反比例函数y=-的图像的一个交点为Aa,3),试确定反比例函数的解析式.x例4】如图,一次函数y=2x-2的图象分别交x轴、y轴于A,B,P为AB上一点且PC为AAOB的中位线,PC的延长线交反比例函数y=-k0的图象于Q,x3S=,则k的值和Q点的坐标分别为.AOQC2【巩固】如图,直线y4x与双曲线yk(x0,交于点A.将直线y=4x向右平移9个单位后,与双曲3x32线y-(x0)交于点B,与x轴交于点C,若竺2,则k.xBCk【例5】已知正比例函数ykx(k0)与反比例函数y=(k0)的图象交于A、B两点,点
5、A的坐标11x2为(2,1)(1) 求正比例函数、反比例函数的表达式;(2) 求点B的坐标【巩固】已知一次函数yx+m与反比例函数y=m1(m-1)的图象在第一象限内的交点为P(x,3)x0(1) x的值0(2) 一次函数和反比例函数的解析式.【例6】已知一次函数ykx+b(k0)的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,且与反比例函数ym(m0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,x(1)点A、B、D的坐标;(2)求一此函数与反比例函数的解析式.【巩固】已知反比例函数y-(k0)的图像经过点A(-打,m),过点A作AB丄x轴于点B,且AOBx的面积为(1)
6、求k和m的值.(2) 若一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求|AO|:AC的值.例7】如图,反比例函数y-的图像与一次函数y=mx+b的图像交于A(1,3),B(n,-1)两点.x1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图像回答:当x取何值时,反比例函数的值大于【巩固】如图,已知一次函数y=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y=_1图象相交于点A(1,3).(1) 求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标;(2) 观察图象,写出使函数值y三y的自变量x的取值范围.12(k为常数,k丰0)的【例8】如图,已知A(-4,2),B(n,-4)是一次函数y=kx+
7、b的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式;(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【巩固】如图,已知:一次函数ykx+b的图像与反比例函数y=的图像交于A、B两点.x(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x例9】如图,已知A(-4,),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交x点八、(1)求反比例函数和一次函数的解析式;yjk(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积;(3)求方程kx+b-=0的解(请直接写出答案);x(4)求不等式kx+b-=0的解集(请直接写出答案).x【巩固】利用图象解一元二次方程x2+x-30时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线yx2和直线y二-x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.(1)填空:利用图象解一元二次方程x2+x-30,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y和直线yx,其交点的横坐标就是该方程的解.(2)已知函数y-6的图象(如图9所示),利用图象求方程-x+30的近似解(结果保留xx两个有效数字).图9)图9)