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1、直线的倾斜角与斜率课题说明：本节课是新人教A版数学必修2的3.1.1节的内容.内容分析：本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及 一个公式（斜率计算公式）.直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量， 它也是确定直线位置的一个重要的 几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程度.直线的斜率指倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜 率.教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念的.直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本质上可看成是从“数”的角度刻画直 线的倾斜程度.华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.显然， 与倾斜角相比，用斜率
2、刻画倾斜程度会更细致.关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定的， 所以其 倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）.从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联系.斜率不仅反映了这种联系，并用 代数方法表示了出来，而且在公式的推导中蕴涵了分类讨论、 数形结合、化归等 重要数学思想.学情分析：本节课是高中解析几何部分的起始课， 学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可建立一一对 应的关系.这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离不开生活，数学概念的 形成是自然的，而且蕴涵了几何问题代数化的思想， 从知识点及研究方
3、法上，为 后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着关键性的铺垫作 用.教学目标分析：1. 探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的 形成过程.2. 通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受 数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思 想.3. 充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想4. 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率 计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想 .教学重点与难点：重点：1. 感悟并形成倾斜角与
4、斜率两个概念；2. 推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3. 体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用难点：用代数方法推导斜率的过程教学方法：计算机辅助教学与发现法相结合即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程， 体验公式的推导 过程，主动建构自己的认知结构.教学过程：一、创设情境，揭示课题问题1：（出示幻灯片）给出的两点 P、Q相同吗？如何区分这两个点？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2：过这两点可作什么图形？（唯一吗？）只经过其中一点（如点 P） 可作多少条直线？若只想
5、定出其中的一条直线， 除了再用一点外，还有其他方法 吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式：（1）已知直线上两点；（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度.【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素.问题3：角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度 的角，就必须还有一条形成角的参照的直线在平面直角坐标系 下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用 x轴.问题4:过点P与x轴形成45角的直线有几条？（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分清楚这两条直
6、线呢？估 计学生能想到还需要确定方向选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有 唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分 Li与L2）数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这 个角呢？（揭示课题）倾斜角的定义：在平面直角坐标系下，以x轴为基准，当直线I与x轴相交 时，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角：，叫做直线I的倾斜角.学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线.学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4）,问倾斜角在哪儿？如何规定？规定：当直线I与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 .自然有倾斜角的范围是0 ，180）.
7、这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角:与它对应.倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的 倾斜程度.【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定，同时让 学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美，从而提示本节课的课题.二、巩固旧知，同化新知生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的?坡度（比）升高量=前进量（即坡角，的正切值）.当坡角：增大时，坡度如何变化?当坡角=90与0 时，升高量、前
8、进量分别是什么？坡度又分别是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角， 而坡度则对应于直线的斜率斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,即 k = tan a （a 式 90 ）.问题5:生活中坡角没钝角，当：为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角二上）:=180、-讯二是锐角），.k =tan 二 tan（180 -旳=tan v.女口：倾斜角=120，则斜率k -3.【设计意图】使学生会用转化思想求:为钝角时的斜率，明确课本脚注的用法.问题6 :当：在0 ，180 ）内变化时，斜率k如何变化?口口 U U 9O43*a = 9O
9、aJJO& * -o:二 CTl OlcOLt=Ok不存在【设计意图】更条理、更全面地认识斜率与倾斜角的变化关系.问题7:倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度， 而斜率是比值，实质是数值，它能从数 的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些 .【设计意图】突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微， 使用方便简洁.三、尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度， 即倾斜角与斜 率.由此看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系 问题8在平面直角坐标系中，已知直线上两点 Pi （ xi，yi）， P2 （ X2，y2）
10、且 Xi=X2，能否用Pi、P2的坐标来表示直线斜率k?学生活动：随意在坐标系下画两点 Pi、P2及直线P1P2，探究各种图形并尝 试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析 教师可适当引导其将 斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量、前进量，用点的坐标表示线段长，并 请学生叙述各个图的推导过程与结果解：设直线Pi P2倾斜角为a （a鼻90）当直线PiP2方向向上时，过点Pi作x 轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点 Q,则点Q为（X2，yi）（i）当 a 为锐角时，NQRP2， % cx2， yi y2，y2 - yiX2 - Xi在 Rt AFP,Q 中，tan a =t
11、a nZQRR =器 P Q（2）当 a 为钝角时，g =i80-日（设/QPP2=B ），& c x?，W，tan ： =tan(i80 -对=-tan ，在 Rt APP2Q 中,tan71 =QP2QPiy2-yi_ _ y2-yix2-为 x2-xi y2 - yiX2 Xi（可让学生分组推导）同理，当直线P2Pi方向向上时，无论:-为锐角或钝角，也有tan二 一出X2 Xiy2 一 yi x2 _ xi【设计意图】给学生提供充分的自主探索的时间与空间， 克服公式推导中不 易把握的两点（两点坐标与tan a的联系；图形分析不全面），培养数形结合 与分类讨论的思想，促进思维的独立性、全面
12、性，逻辑性 .思考：各种一般情形得出的结论一致吗？与 Pi、P2这两点坐标顺序有关 系吗？ 当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？ 斜率公式使用时应注意什么问题？【设计意图】熟悉公式的结构特征及适用范围.巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角.1（1）A（3,2）,B（-4,1）.（ kAB =-）（2）A（ 3,2）,B（ 4,1）.（ kAB =-1）（3）A（ 3,2）,B（ 3,-1）.（不存在）（4）A（ 3,2）,B（ -4,2）.（ kAB =0）四、反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）1. 明确了确定直线位置的几何要素2. 理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定 义法、坐标法），k二ta二坯A.X2 _x3. 经历了代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结合与分类讨论的数学思想.五、板书设计（学生展示推导 斜率公式的图 形）六、作业： 自学课本P.85：例1、例2； 作业本：P. 89： 1、2、3.预期效果分析：1. 两个概念的形成，估计通过问题情境的设置，学生能达到预期的教学目标，而且这样设计之后，概念得出是自然的，不是强加于人的2. 斜率公式的推导可能存在学生对图形考虑不全面的问题，需要教师适当进 行引导.
