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1、2014届高三年级五月份第二次调研考试数学试题一、填空题1.已知是虚数单位，复数满足，则_ 2.若集合则集合_3.某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取_人4. 如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为x2y =0，则该双曲线的离心率是 6 已知直线l平面，直线m平面，则“lm”是“”，第7题的 条件7如右图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点，则 8连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是 _9在中，已知角
2、A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线与直线互相平行（其中），则角A的值是_ _10.定义在R上的奇函数满足，当时，则 11、已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是 12.已知，则的最小值为 13、设，则当与两个函数图象有且只有一个公共点时， 14、对“绝对差数列”有如下定义：在数列中， 是正整数，且，则称数列为“绝对差数列”.若在数列中，则 .二、解答题15设函数f(x)cos2cos2x.(1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；(2)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(BC)，bc2，求a的最小值16（
3、本小题满分14分）在正三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且（1）求证：平面；（2）若，求侧棱的长17（本小题满分14分）已知A，B 分别为曲线C：+=1（y0，a0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B，且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由18.如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点O，B，D分别在x轴，y轴上，AD3百米，ABa百米（3a
4、4）观光区中间叶形阴影部分MN是一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数2）的图象的一段为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路（宽度不计），要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切（切点记为P），并把该观光区分为两部分，且直线左下部分建设为花圃设点P到AD的距离为t，f（t）表示花圃的面积（1）求花圃面积f（t）的表达式； （2）求f（t）的最小值19。（本小题满分16分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：，(1)若等比数列为阶“期待数列”，求公比； (2)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的首项；(3)记阶“期待数列”的前项和为，求证: 20已知a为实常
5、数，函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点求实数a的取值范围；求证：，且（其中e为自然对数的底数）（附加题部分）一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分每小题10分，共20分A（选修41：几何证明选讲）（第1题）如图，O1与O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E求证：ABCDBCDEB已知曲线，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线，求实数m的值。C在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆C1，直线C2的极坐标方程为（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）设
6、P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ为参数方程为 （为参数），求a，b的值D选修45：不等式选讲已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最小值二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分22“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的（1）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；（2）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙
7、的次数记作随机变量，求的分布列及其期望23如图，A、B、C是抛物线上三个不同的动点，直线AB过点，直线BC过点，求证：直线AC过一定点，并求该定点坐标答案：1. 2. 3.8 4.115. 6. 必要不充分 7. 8. 9. -210. 11. 12.11 13.-1 14.215. 解：(1)f(x)cos2cos2xcos1，f(x)的最大值为2.4分f(x)取最大值时，cos1，2x2k(kZ)，故x的集合为x|xk，kZ7分(2)由f(BC)cos1，可得cos，由A(0，)，可得A.10分在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos(bc)23bc，由bc2知bc1，当bc1时
8、bc取最大值，此时a取最小值114分16. 解：（1）证明：取的中点，为的中点，又为的中点，在三棱柱中，分别是的中点，且，则为平行四边形，又面，面，面（2）三棱柱为正三棱柱，平面平面，是棱的中点， ，且平面平面，又平面，且平面平面，又平面，在中，17. 解：(1)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120当BOT=60时， SAE=30又AB=2，在SAE中，有；当BOT=120时，同理可求得点S的坐标为，综上，(2)假设存在a，使得O，M，S三点共线由于点M在以SO为直径的圆上，显然，直线AS的斜率k存在且k0，可设直线AS的方程为由设点，则有由直线SM的方程为O，
9、S，M三点共线当且仅当O在直线SM上，即存在，使得O，M，S三点共线18。19. 解： (1) 若，则由得，由得或 若，由得， ，得，不可能 综上所述 (2)设等差数列的公差为 ，由得由题中的、得， ，两式相减得， 即 又，得 (3) 记中非负项和为，负项和为则， 得，20。解：（I）的定义域为其导数1分当时，函数在上是增函数；2分当时，在区间上，；在区间上，所以在是增函数，在是减函数.4分（II）由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，6分此时，且，令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范
10、围是，8分证法一：.设 . .当 时， ；当 时， ；所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .由于 ，且 ，所以 ，所以.下面证明：当时， .设 ，则 .在 上是增函数，所以当时， .即当时，.由得 .所以.所以 ，即，.又 ，所以，.所以 .即.由，得.所以， . 12分证法二：由（II）可知函数在是增函数，在是减函数.所以.故 第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证明：构造函数：则：所以函数在区间上为减函数.,则,又于是. 又由(1)可知 .即 12分附加题：A证明：因为A，M，D，N四点共圆，所以同理，有所以， 即，所以 ABCDBCDE B解：2分设是
11、曲线上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点，则5分则在曲线C2上与曲线C1表示同一条曲线10分C解：(1)圆C1的直角坐标方程为直线C2的直角坐标方程是解得或，所以C1与C2的交点的极坐标为5分（注：极坐标系下点的表示不唯一）(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)和(1,3)故直线PQ的直角坐标方为x-y+2=0 （*）由PQ的参数方程可得与（*）表示同一条直线 10分D解：，时，取最小值，即，由柯西不等式得，当且仅当，即时等号成立，的最小值为22 解：（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）共有9个基本事件，玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率（2）的可能取值分别为0，1，2，3，的分布列如下：012323解：当时，直线AB方程为，直线AB方程为当时也符合 4分同理：直线BC：，直线AC：直线AB过，直线BC过， 8分即令得所以直线AC过一定点10分
