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1、【基 本 概 念】第一章 数和数的运算一、概念（一）整 数1.自然数、负数和整数（1）、自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。 0是最小的自然数，没有最大的自然数。（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。自然数 正整数（1、2、3、4、）(3)整 数 零 (0既不是正数，也不是负数) 负整数（-1、-2、-3、-4）2、零的作用（1）表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。（2）占位作用。（3）作为界限。如“零上温度与零下
2、温度的界限”。3、计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 ：整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 （1）假设数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的因数）。倍数和因数是相互依存的。 如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如
3、：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。如：3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （4）个位上是0、2、4、6、8的数，是2的倍数，例如：20、480、304。 （5）个位上是0或5的数，是5的倍数，例如：5、30、405。 （6）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数是3的倍数，例如：12、204。 （11）能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 （12）一个数，假设只有1和它本身两个因数，这样的数
4、叫做质数（或素数）。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （13）一个数，假设除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如 4、6、8、9、12都是合数。 （14）1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。假设把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 （15）每个合数都能够写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 （16）把一个合数用质因数相乘的形式表示出
5、来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数 （17）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大因约数。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12； 18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公约数。 （18）公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有以下几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，假设几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 假设较小数是较大数的
6、因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 假设两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 （19）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如：2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。 假设较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。假设两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 （二）小数 1 、小数的意义 （1）把整数1平均分成10份、100份、1
7、000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 能够用小数表示。 （2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 （3）一个小数由整数局部、小数局部和小数点局部组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数局部，小数点右边的数叫做小数局部。 （4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数局部的最高分数单位“十分之一”和整数局部的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的分类 （1）纯小数：整数局部是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 （2）带小数：整数局部不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是
8、带小数。 （3）有限小数：小数局部的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （4）无限小数：小数局部的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 3.1415926 （5）无限不循环小数：一个数的小数局部，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：（6）循环小数：一个数的小数局部，有一个数字或者几个数字依次持续重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 （7）一个循环小数的小数局部，依次持续重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9
9、” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 （8）纯循环小数：循环节从小数局部第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 （9）混循环小数：循环节不是从小数局部第一位开始的，叫做混循环小数。例如： 3.1222 0.03333 （10）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环局部只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。假设循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 简写作：3.7() ； 0.5302302 简写作：0.53()02() 。 （三）分数1、分数的意义 （1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份
10、的数叫做分数。 （2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：假分数能够写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同
11、分母分数，叫做通分。 （四）百分数 ：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 二 、方法 （一）数的读法和写法 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 3、小数的读法：读小数的时候，整数局部按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数局部从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4、小数的写法：
12、写小数的时候，整数局部按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数局部顺次写出每一个数位上的数字。5、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 6、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 7、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 8、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还能够根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1、准确数
13、：在实际生活中，为了计数的简便，能够把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2、近似数：根据实际需要，我们还能够把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；假设尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097
14、420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4、大小比较 （1）比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，假设位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 （2）比较小数的大小：先看它们的整数局部，整数局部大的那个数就大；整数局部相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 （3）比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 （三）数的互化 1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分
15、母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3、一个最简分数，假设分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；假设分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能
