微积分发展史

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1、江西师范大学科技学院2014届学士学位毕业论文江西师范大学科技学院学士学位论文微积分发展史The development history of calculus 姓 名： 蔡兴加 学 号： 1007019071 院 系：数学与信息科学系 专 业：数学与应用数学 年 级： 2010级 指导老师： 张廷海 完成时间：2014年3月1日 学士学位论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位

2、或证书而作的材料.其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意.本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有.特此声明.声明人（毕业设计（论文）作者）学号：声明人（毕业设计（论文）作者）签名：微积分发展史蔡兴加【摘要】微积分的早期萌芽为微积分的创立奠定了基础;生产实践的需要促进了微积分的创立;牛顿与莱布尼茨的出现,实现了微积分的创立，柯西的到来，使微积分变得无懈可击.【关键词】微积分 萌芽 创立 完善 启发The development history of calculusXingjiacai【A

3、bstract】Early bud calculus calculus founded as the foundation; need to promote the production practices founded calculus; Newton and Leibniz appear to achieve the creation of calculus, Cauchys arrival, so that the micro-integral become invulnerable. 【Key words】 Calculus budding creation perfect insp

4、ired 目录一、引言1二、微积分的早期萌芽11 积分的萌芽21.1 欧多克索斯的穷竭法21.2 阿基米德的平衡法21.3 刘徽的割圆术和体积理论21.4 祖暅原理31.5 卡瓦列里的不可分量原理32 微分的萌芽32.1 费马求极大值与极小值的方法32.2 费马求切线的方法42.3 巴罗的微分三角形4三、微积分的创立41 牛顿与微积分52 莱布尼茨与微积分6四 微积分的完善7五 微积分发展史的启示8参考文献:9致 谢9一、引言 微积分是微分学和积分学的总称，微分学包括极限理论、导数理论、微分理论等等，微分学还有一元微分、多元微分，并进一步发展出常微分方程、偏微分方程等数学知识，微分学的核心思想

5、就是以直代曲，即在微小的领域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程.微积分是近代数学发展的基础，是整个近代数学的基础，有了微积分，才有了真正意义上的近代数学. 微积分推动了数学自身的发展，开辟了数学发展的新纪元.通过微积分，数学可以描述运动的事物，描述一种变化的过程，它的创立极大地推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支.微积分成了物理学的基本语言，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答.微积分还对天文学和天体力学的发展奠定了基础.因此，可以说微积分的创立为其它学科的发展作出了巨大的贡献. 微积分不仅推动了数学自身的发展，对推动人类文明的发展更有其举足轻重的地位.微积分由于

6、是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.从这个意义上说，微积分的创立对人类社会的进步和人类物质文明的发展都可发挥极大的推动. 微积分的创立在数学发展史上是一个重要的转折点，它不但成为高等数学发展的基础，也成为众多相关科学发展的数学分析工具.随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍将会进一步丰富和发展人们的生活，人们也会进一步将微积分和数学的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献. 基于以上微积分的创立对人类和科学发展的重大意义，我们有理由也很有必要了解其重大发展历程，微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善

7、,汇聚了无数数学家的心血和智慧,是无数数学家长期艰苦奋斗的结晶,了解微积分发展的历史,了解数学家们发现微积分所经历的艰苦而又漫长的道路，感受其敢于探索真理的勇气和坚持不懈的奋斗精神,对于提高我们的数学素养,提升自身的数学意识，锻炼自身的思维能力,创建新的理论和科学，都是大有裨益的.二、微积分的早期萌芽 1 积分的萌芽 积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,所以先来谈谈积分学的早期萌芽，这要追溯至神秘的古希腊时代.其代表性的人物有:1.1 欧多克索斯的穷竭法 安蒂丰是古希腊对圆的求积问题做出贡献的第一人.安蒂丰提出了用圆内接正多边形无限逼近圆面积的方法来化圆为方的论断,他的论断包含希腊穷竭法的萌

8、芽,成为古希腊“穷竭法”的始祖.欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”.欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的三分之一;两圆面积之比等于其半径平方的比;两球体积之比等于其半径立方的比等等.他将穷竭法发展成为一种严格的证明方法,只不过他没有明确的极限思想.1.2 阿基米德的平衡法 我们知道,穷竭法可以严格证明已知的命题,但却不能用来发现新的结果,这是希腊演绎数学的一个大弱点.而阿基米德却不会如此,他的数学工作是创造与论证的结合,这些在他的处理力学问题的方法中有充分的体现.在处理力学问题的方法这篇著

9、作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的被称为“平衡法”的方法,阿基米德方法的基本原理是这样的：为了找所求的面积或体积，把它分成很多窄的平行的条和薄的平行的层，并且把这些片挂在杠杆的一端，使它平衡于容积和重心为已知的一个图形，他的平衡法与现代积分的基本思想本质上是相同的.阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形中求面积、体积的问题,而平衡法本身则是以极限为基础的,但当时却不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,一定要用穷竭法加以证明. 1.3 刘徽的割圆术和体积理论 刘徽是中国古代数学史上非常重要的一位数学家,他

10、在积分学方面的贡献主要集中在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是刘徽创造的运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论建立在他的“出入相补”原理上,在球体积公式的推算中,刘徽首创了立体图形“牟合方盖”,但刘徽在求牟合方盖的体积时,遇到很大的困难，最终未能解决.刘徽虽然没有完成球体体积公式的推证,但他创造的牟合方盖和特殊形式的不可分量方法,为后来的祖冲之父子在球体体积公式推证问题上取得突破奠定了基础.在这里,刘徽实际上已用到了后来被称为的“祖暅原理”，只可惜他没有将它总结为一般形式. 1.4 祖暅原理 刘徽绞尽脑汁没能解决的球体积

11、推证问题,到了祖冲之时代终于由祖暅解决了.祖暅继承了刘徽对球体体积的推导的路线,即从计算“牟合方盖”的体积为突破,祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这就是著名的“祖暅原理”. 实际上刘徽已经使用了祖暅原理,但首次明确地将它作为一般原理提出来的是祖暅,并成功地应用于球体体积的推算. 1.5 卡瓦列里的不可分量原理 卡瓦列里是意大利的数学家,他对数学的最大贡献是1635年发表的关于不可分量法的专著用新方法促进的连续不可分量的几何学.著作中他发展了系统的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:卡瓦列里的不可分量原理大大简化了许多立体图形体积的推导过程.如卡瓦列里的不可分量原理计算球的体积要

12、比祖氏父子的计算方法简单得多.利用不可分量原理,卡瓦列里对积分学创立最重要的贡献还在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等价于积分的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法的过渡 . 2 微分的萌芽 再来谈谈微分学的早期萌芽.与积分学两千多年的早期萌芽史相比,微分学的萌芽史就短多了.因为积分学研究的问题是静态而微分学研究的则是动态的,它涉及到运动,当生产力还没发展到一定阶段时，微分学是不会产生的,因此直到17世纪,受到求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题的刺激,微分学才出现了重大突破.主要表现在下面三个方面上: 2.1 费马求极大值与极小值的方法费马

13、是法国数学家,费马求极大值与极小值的方法在1629年已经设计完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿求最大值和最小值的方法中发现.按费马的方法来确定怎样把长度为的一个线段划分为两个线段和，使得它们的乘积最大，首先用代替，然后写出 ，即消去相同项得 ，两边除以，得 ，费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号代替了增量 ，但费马的方法除了逻辑上的不完整外,还存在两个问题:一是费马的方法对极大值与极小值未加区别;二是费马不知道的导数为零只是极值的必要条件却并非充分条件. 2.2 费马求切线的方法 费马在他的手稿求最大值和最小值的方法中还给出了求曲线切线的方法,这个方法与现在的方法实质是相

14、同的.费马在处理求曲线的切线和求极大值与极小值两大问题时,所采用的方法是一致的,简言之,就是先取增量,而后让增量趋向于零,其正是微分学的实质所在. 2.3 巴罗的微分三角形 巴罗是英国的数学家,巴罗也给出了求曲线切线的方法,这种方法记载在1669年出版的几何讲义中,但他应该是在更早的时候就得到这种方法了.与费马不同,巴罗使用的是几何学.巴罗几何法的关键概念后来变得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”.巴罗求切线的方法非常接近微分学中所采用的方法,是费马方法的进一步发展.三、微积分的创立 17 至 18 世纪的英国和欧洲处于资本主义经济和技术迅猛发展的时期，资产阶级革命风起云涌，资产阶级与封建王朝的革命与复辟的反复斗争此起彼伏，宗教改革带来的思想解放，整个欧洲处于社会大动荡、大变革、科学大发展的浪潮之中.新大陆的发现，第一次工业革命的影响（15401640 年），海上贸易和海外市场的掠夺，冶金、纺织、造船、火药、造纸、武器制造，航海、手工业和商业等领域发生和发展的需要，对数学提出了一系列迫切需要解决的课题，几千年人类数理文化的积累为微积分的出现准备好了舞台，也可以说为天才人物的出场编好了序曲.牛顿和莱布尼茨的出现,完成了微