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1、 .wd.与轴对称相关的最值问题【典型题型一】：如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。【典型题型二】如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。【练习】1、(温州中考题)如图5，在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是 解：如图6，因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以选D。2、如图13，一个牧
2、童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是 （A） 4+英里 B 16英里 C 17英里 D 18英里3如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小?4如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则线段DC的长就是E
3、C+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC=5如图，等腰RtABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B，连接BE，交AC于点P，则BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角BEF中，EF = 1，BF = 3根据勾股定理，BE = 6如下列图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为A2B2C3D即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小点D
4、关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 27如图，假设四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；作点C关于BD的对称点C，过点C，作CBBC，交BD于点P，则CE就是PE+PC的最小值直角BCD中，CH = 错误！未定义书签。直角BCH中，BH = 8BCC的面积为：BHCH = 160所以 CEBC = 2160 则CE = 168如图，假设四边形ABCD是菱形， AB=10cm，ABC=45，E为边BC
5、上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点A，过点A作AEBC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰EAB中，求得AE的长为59如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )A 2 BC 1 D 2即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则点P就是所要作的点AB的长就是PA+PB的最小值连接OA、OB，则OAB是等腰直角三角形所以 AB = 10如图，一次函数 y = 与反比例函数y = 交于点A，AMx轴于点M，SO
6、AM = 1 (1)求k的值，(2)点B为双曲线y=上不与A重合的一点，且B(1，n)，在x轴上求一点P，使PA+PB最小(1)由SOAM = 1知，k = 2(2)作点A关于x轴的对称点A，连接AB，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。用待定系数法求直线AB的解析式为y = - 3x + 5，因为点P在x轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5，解得 x = 所以P( ，0)11如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线1由图观察易知A0，2关于直线l的对称点A的坐标为2，0，请在图中分别标明B5，3、C2，5关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：
7、B 、C ；2结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点Pa，b关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 不必证明；3两点D1，3、E1，4，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标(1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B(3，5)、C(5，-2)(2)坐标平面内任一点P(a，b)关于直线l的对称点P的坐标为(b，a)(3)作点E关于直线l的对称点E，连接DE，交直线l于点Q则QE+QD的值最小设直线DE的解析式为：y = kx+b，因为D(1，-3)、E(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b解得：k = -
8、，b = - 所以 y = - x - 当x = y时，有x = y = - 则Q点的坐标为(- ，- )【典型题型三】：如图，点P是MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使PAB的周长最小12、如图9，AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R均不同于点O，则PQR的周长最小值是_。当PQR周长最小时，QPR的度数=_。答案：900【典型题型四】求线段差的最大值：如下列图，直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PAPB最大，并说明理由。 13.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上
9、运动，则 的最大值为( c )A.B.C.D.14.如图，两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离AC=6，B到直线l的距离BD=2，CD=3，点P在直线l上运动，则 的最大值为( d )A.B.3 C.1 D.5 15.如图，在平面直角坐标系中，A0，1，B3，-4，在x轴上有一点P，当 的值最大时，点P的坐标是( b )A. B.-1，0 C.0，0 D.3，0 16、在直角坐标系中，X轴上的动点MX，0到定点P5，5和到Q2，1的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=_ _.你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X= )【典型题型四】17.如图，A1，3，B
10、5，1，长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小时，点P的坐标为( b )A.B.C.1，0 D.5，0 18.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点假设E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( b )A.B.C.2，0 D.3，0 19.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( a )A.B.1 C.2 D.20如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=( )时，四边
11、形APQE的周长最小21.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB最短，则应按照以下哪种方式来建造假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直( D )A.B.C.D.22如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，假设河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近*逆向思维23如图，点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y = ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，
12、点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短假设存在，求出此时抛物线的函数解析式；假设不存在，请说明理由(1)直线AP的解析式为：y = - x + 则Q的坐标为，0(2)解法一：CQ = |- 2 - | = 则抛物线 y = x2向左移动个单位时，AC+BC最短抛物线的解析式为：y = x+2 (2) 抛物线向左或向右平移时，使四边形ABCD的周长最短，因为AB + CD 是定值，只要使AD + BC最短即可当抛物线向右移动时，因为AD A
13、D，BC BC，所以AD + BC AD + BC，则在不存在一个向右的位置，使四边形ABCD的周长最短当抛物线向左移动时，设A(-4-a，8)，B(2-a，2)，因为CD = 2，则将点B向左平移2个单位得到点B(-a，2).点A关于x轴的对称点是A(-4-a，-8)，直线AB的解析式为：y = x + m + 2要使AD + BD最短，点D应在直线AB上将点D(-4，0)的坐标代入到直线AB的解析式，得m = 故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形ABCD的周长最短，抛物线函数解析式为y = (x+)2【典型题型五】如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得之和最小。24.如图，点A，B为MON内的两点，分别在OM，ON上作点C，D。使四边形CABD的周长最小。25恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险著称于世著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建设如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值如图分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A，B，连接AB，交x轴、y轴于点P、Q，则四边形PA
