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1、南京市2014届高三数学综合题一、填空题1已知函数ysinx(0)在区间0，上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为【答案】，1【提示】由题意知，即，其中kZ，则k或k 或k1【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等2如图：梯形ABCD中，AB/CD，AB6，ADDC2，若12，则DABC【答案】0【提示】以，为基底，则，则2248cosBAD1212，所以cosBAD，则BAD60o，则()()2440【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想另本题还可通过建立平面直角坐标系将向
2、量“坐标化”来解决向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择3设 、为空间任意两个不重合的平面，则：必存在直线l与两平面 、均平行； 必存在直线l与两平面 、均垂直；必存在平面与两平面 、均平行； 必存在平面与两平面 、均垂直其中正确的是_（填写正确命题序号）【答案】【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力 4圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是_【答案】【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，且2rl2，解
3、得l2，r，所以圆锥高h1，则体积Vr2h【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算 5设圆x2y22的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为_【答案】xy20【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题6已知双曲线1(a0，b0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为 【答案】1 【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法7在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y2log2x、ylog2x、yklog2x(k为常数，0k1)曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线
4、交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C若四边形ABCD为矩形，则k的值是_ 【答案】【提示】设A(t，2 log2t)(t1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t2k log2t，由于log2t0，故2k1，即k【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程注意点坐标之间的关系是建立方程的依据 *8已知实数a、b、c满足条件0ac2b1，且2a2b21c，则的取值范围是_【答案】，【提示】由2a2b21c得2ac2bc2，由0ac2b1得0(ac)2(bc)1，于是有12(ac)2(bc)2，即12设x2bc
5、，y2ac，则有xy2，x2y2x2，x0，y0，yx在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设yxt如图，当直线yxt与曲线yx2相切时，t最小此时令y2x1，解得x，于是y，所以tmin当直线过点A时，t最大由解得A(，)，所以tmax因此的取值范围是，【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注9已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q的取值集合是 【答案】，【提示】因为公比q不
6、为1，所以不能删去a1，a4设an的公差为d，则 若删去a2，则由2a3a1a4得2a1qa1a1q，即2q1q，整理得q(q1)(q1)(q1)又q1，则可得 qq1，又q0解得q； 若删去a3，则由2a2a1a4得2a1qa1a1q，即2q1q，整理得q(q1)(q1)q1又q1，则可得q(q1)1，又q0解得 q综上所述，q【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算*10数列an是等差数列，数列bn满足bnanan1an2 (nN*)，设Sn为bn的前n项和若a12a50，则当Sn取得最大值时n的值等于_【答案】16【提示】设an的公差为d，由a12a50得 a1
7、d，d0，所以an(n)d，从而可知1n16时，an0， n17时，an0从而b1b2b140b17b18，b 15a15a16a170，b16a16a17a180，故S14S13S1，S14S15，S15S16因为a15d0，a18d0，所以a15a18ddd0，所以b15b16a16a17(a15a18)0，所以S16S14，故Sn中S16最大【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略此题借助了求等差数列前项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想二、解答题11三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且sinB (1)若cosA，求sinC的
8、值； (2)若b，sinA3sinC，求三角形ABC的面积解 (1)由sinB，两边平方得2sin2B3cosB，即2(1cos2B)3cosB，解得cosB或cosB2(舍去)又B为三角形内角，则B因为cosA，且A为三角形内角，则sinA，故sinCsin(BA)sin(A) cosAsinA (2)解法一因为sinA3sinC，由正弦定理可得a3c由余弦定理知：b2 a2c22accosB，则79c2c23c2，解得c1，则a3面积SacsinB 解法二 由sinA3sinC得sin(CB)3sinC，即sin(C)3sinC，则sinCcosC3sinC，即cosCsinC，故可得ta
9、nC又C为三角形的内角，则sinC由正弦定理知，则c1又sinA3sinC，故面积SbcsinA【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性12三角形ABC中，三内角为A、B、C，a(cosA，sinA)，b(cosB，sinB)，c(1，1) (1)若ac1，求角A的大小； (2)若a/b，求当AB取最大时，A的值解 (1)accosAsinA2cos(A)1，则cos(A)因为A(0，)，则A(，)，则A，则A (2)因为a/b，所以cosAsinBsinAcosB，则tanA3tanB由于A、B为三角形内角，则A、B只能均为锐角，即tanA0，tanB
10、0tan(AB) ，当且仅当3tanB时，B取“”号又AB(，)，则AB的最大值为，此时A所以，当AB的最大时，A【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值 AEDCB13如图，六面体ABCDE中，面DBC面ABC，AE面ABC (1)求证：AE /面DBC； (2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC证明 (1)过点D作DOBC，O为垂足 因为面DBC面ABC，又面DBC面ABCBC，DO 面DBC， 所以DO面ABC 又AE面ABC，则AE/DO 又AE 面DBC，DO 面DBC，故
11、AE / 面DBC (2)由（1）知DO面ABC，AB面ABC，所以DOAB 又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，则AB面DBC 因为DC 面DBC，所以ABDC 又BDCD，ABDBB，AB，DB面ABD，则DC面ABD 又AD 面ABD，故可得ADDC【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题14如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o在面ABC中，AB2，BC4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N (1)求证：N为AC中点； (2)
12、平面A1B1MN平面A1ACC1解 (1)由题意，平面ABC/平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN/ A1B1因为AB/ A1B1，所以MN/AB，所以BCA1B1C1MNA因为M为AB的中点，所以1，所以N为AC中点 (2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，A1AC60o 在三角形A1AN中，AN1，AA12，由余弦定理得A1N， 故A1A2AN2A1N2，从而可得A1NA90o，即A1NAC在三角形ABC中，AB2，AC2，BC4，则BC2AB2AC2，从而可得BAC=90o，即ABAC又MN/AB，则ACMN因为MN
13、A1NN，MN 面A1B1MN，A1N面A1B1MN，所以AC平面A1B1MN 又AC平面A1ACC1，所以平面A1B1MN平面A1ACC1【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点关注以算代证的方法15某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：y与(ax)和x2的乘积成正比；x(0，其中m是常数若x时，ya3 (1)求产品增加值y关于x的表达式； (2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值解：(1)设yf(x)k(ax)x2，因为当x时，ya3，所以k8，
