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1、怎样作棱柱的截面 陈文华棱柱的截面,是棱柱图形性质的一个重要部分。新教材对棱柱截面问题,没有详细论述,但是在例题、习题中，涉及到与截面有关的问题。可见怎样作棱柱的截面，还是必须掌握的。作棱柱的截面，在于确定截平面与棱柱有关底面和侧面的交线，这些交线通常叫截痕，即截面和棱柱有关界面相交的痕迹。依据作截痕的方法与难易程度，通通常有这样几种类型。例1（苏科版第23页例2）在长方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱BB的中点，画出A1，C1，P三点所确定的平面与长方体表面的交线。作法：连结A1C1，A1P，C1P。则A1C1，A1P，C1P就是截平面与长方体AC面，AB面，CB面的交线。作法依据是公理
2、2“如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。”本题中，P是平面内的一点，又是平面A1B内的一点，所以P在平面与平面A1B的交线上。同理A1也在与平面A1B的交线上。所以A1P就是平面与平面A1B的交线。即A1P是截平面与平面A1B相交的截痕。同理，A1C1，C1P也是截痕，这三条截痕围成的A1PC1就是截面。可见在同一界面上有两个已知点，只要连接这两点，即可得到截痕。例2如图，P是正方体ABCDA1B1C1D1所在棱的中点，Q、R是所在棱的点，作出过P、Q、R的截面。作法：（1）作直线PQ交DA延长线于S，作直线PR交DC延长线于T。（2）
3、连结ST，交AB于E，交BC于F。（3）连结QE，RF，则五边形PQEFR就是所求作的截面。说明：因为S直线PQ，所以S平面，又S直线AD，而AD平面AC，所以S平面AC。所以S在平面与平面AC的交线上。同理T在平面与平面AC的交线上，所以直线ST即为平面与平面AC的交线，所以EF、QE、RF都是截痕。例3如图P、Q、R是正方体AC1所在棱的中点，作出过P、Q、R的截面。作法：（1）PQBC=S；（2）SRC1C=T；（3）QTDB=M；（4）MRAC=N，MRDA=E；（5）PEA1A=F。六边形PQTRNF即为所求。例4 如图正方体ABCDA1B1C1D1中，P在平面A1C1内，求作过P、
4、B、D的截面。 就行了。作法：（1）连结B1D1，则B1D1BD。（2）在平面A1C1内，过P作EFB1D+1，交B1C1于E，交C1D1于F。（3）连结BE、DF，则四边形BDFE即为所求。这种方法叫平行线法。如果两个平行平面中，一个平面上有截痕，另一个平面上有已知点，则根据“两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”，只要过已知点作出与截痕平行的直就行了。待添加的隐藏文字内容1例5如图，P、Q在直四棱柱AC1的棱A1D1、AB上，R在侧面BC1内，求作过P、Q、R的截面。分析：P、Q、R没有两点在同一平面，不能直接作出某一截痕，应考虑怎样将问题转化成R也在棱上，且与P共面。方法是把此直棱柱分成两个小棱柱，而P、R分别在相邻的两条棱上。作法：（1）分别作R、P在底面的正投影、，则辅助面将棱柱分成两个小棱柱，在小棱柱中，用“截痕法”可作出过PRQ的截面TQHPR；（2）延长TR交棱CC1于K，交B1C1的延长线于M，连结MP交DC1于N。（3）连结NK。则六边形PHQTKN即为所求。本题中，作小棱锥时应用了P、R的射影，因此叫内部射影法。以上简略介绍了用截痕法、平行线法、射影法，作棱柱的截面，并指出了三种方法应用范围，其中截痕法是基础，而射影法中恰好体现了化归思想在截面中的体现。
