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1、第六讲、对数函数与有关复合函数板块一、对数与对数运算知能点全解：知能点一：对数的定义一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 叫做 觉得底 的对数，记作 ，叫做对数的底数，叫做真数。特别提示：1、对数记号只有在，时才故意义，也就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：；。 3、常用对数：我们一般将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, 的常用对数， 简记作：。 例如：简记作 ; 简记作。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。 如：简记作；简记作。例 1：求下列各式中的 （1）； （2）
2、； （3）解：（1）； （2），又由于，因此；（3）因此，因此，故。及时演习：1、将下列指数式化为对数式： （1） （2） （3）2、将下列对数式化为指数式： （1） （2） （3） （4）3、求下列各式中的 （1） （2） （3） （4）4、若，则之间满足（ B ） A、 B、 C、 D、5、在中，实数的取值范畴为 。6、设方程的两个根为，则的值为 。7、（1）若，则 ；（2）若，则 。8、方程的解 。9、若，则 。知能点二：对数运算性质：如果 有： 特别提示：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号均故意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的
3、逆向运用：如；例 2：用表达下列各式： （1） （2） 解：（1）（2） 及时演习：1、计算下列各式的值： （1） ；（2） ；（3） ；(4) 。（5） ；（6） ；（7）（） ；（8） ；2、用表达下列各式：（1） ；（2） ；（3） ； （4） 。3、计算下列各式的值： （1） ； （2） ；（3） ； （4） 。4、下列各式中值为零的是（ C ）A、 B、 C、 D、5、，则（ B ）A、 B、 C、 D、6、已知，且，则的值为 。7、已知且，则的值为 。8、已知 ，则 。知能点三：对数的换底公式及推论：1.对数换底公式： 2.两个常用的推论: ， 例 3：已知，求的值。 解： ，例
4、4：已知 ， , 用 表达 56解：由于，则 , 又, 及时演习：1、计算 ；2、已知，那么 ；3、已知，那么 ；4、若，则 。5、，则 ；6、化简的成果为 ；7、的值所在区间为（ D ） A、 B、 C、 D、知能点四：两个常用的恒等式： ， 例 5：求的值 解：原式及时演习：1、计算下列各式：（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） 。2、如果则 。3、方程的解是 。4、设 且（1） 求证 ； （2） 比较的大小证明（1）：设 取对数得： ， ， （2） 又： 板块二、对数函数知能点全解：知能点一：对数函数的定义：函数叫做对数函数。知能点二：对数函数的图像和性质：图像性质定义域
5、：值域：过点，即当时，时 时 时 时在上是增函数在上是减函数特别提示：对指数函数在同始终角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在轴上侧，图像从左往右相应的底数由小变大；在轴下侧，图像从左往右相应的底数由小变大。即不管在轴上侧还是下侧，底数按逆时针增大。题型一：函数的定义域值域问题例 6：求下列函数的定义域、值域： （1）； （2） 解：（1） 因此函数的定义域为 因此函数的值域为。（2） 或 因此函数的定义域为由于，即能取遍一切正实数，因此因此函数的值域为。及时演习：1、下列函数定义域为：（1） ； （2） ；（3） ； （4） 。2、下列函数的值域为：（1） ； （2）
6、。3、已知的最大值比最小值大，则 ；4、对数函数的图像过点，则 ；5、若定义在区间内的函数满足，则的取值范畴是 ；6、当时，函数的值域是 。题型二：函数的图像问题例 7：已知，则的图像是下图中的（ A ） （A） （B） （C） （D）及时演习：1、已知且，函数与的图形只能是（ B ） （A） （B） （C） （D）2、当时，不等式恒成立，则的取值范畴为 。3、如图所示曲线是对数函数的图像，已知取，则相应于的的值依次为 。4、函数恒过定点 ；5、函数的图像有关 原点 对称；6、若，则函数的图像但是第 一 象限；7、若对均故意义，则的取值范畴是 ；8、已知定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等
7、式的解集是 ；题型三：对数函数的单调性例 8：求函数的递减区间解：先求函数的定义域，由，得，或令，对数的底数 ， 函数减函数由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，规定原函数的单调间区间，只需求函数（，或）的递增区间即可。 函数（，或）的递增区间，因此函数的递减区间为。及时演习：1、下列函数在上是增函数的是（ C ） A、 B、 C、 D、2、(丰台二模理12文8)若在上是的减函数，则的取值范畴是_【解析】易且，在上单调递减，而是减函+8数，知能点三：比较对数值的大小，常用题型有如下几类：1、比较同底数对数值的大小：运用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2、比较同真数对
8、数值的大小：可运用函数图像进行比较；3、比较底数和真数都不相似的对数值的大小：可选用中间量如：“1”、“0”等进行比较。例 9：比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和（3）和； （4）和解：（1）由于函数的底数，因此它在上是减函数，因此；（2）当时，函数 在上是减函数，因此； 当时，函数 在上是增函数，因此（3）， （4）， ；及时演习：1、比较下列各题中两个数的大小（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ；（7） ； （8） 。2、已知，则的大小关系为知能点四：对数不等式的解法： 例 10：若，求的取值范畴。解： （1）当时，函数 在上是增函数， 又 故 （2）当时，函数 在上是减函数， 又， 故 因此的取值范畴是及时演习：1、已知，则的取值范畴是 ；2、不等式的解集为 当时，为；当时，为 3、若。且，则的取值范畴是 ；4、有关的方程有实根，则的取值范畴是 ；5、已知，如果，那么的取值范畴是 ；知能点五：对数方程常用的可解类型有：1、形如的方程，化成求解；2、形如的方程，用换元法解；3、形如的方程，化成指数式求解及时演习：1、方程的解是 ；
