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1、三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形 时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心即外接圆圆心。UABC的重心一般用字母0表示。定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，性 质：1.外心到三顶点等距，即 0A = OB = 0C。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 0D _ BC,OE _ AC,OF _ AB.1 1 13. NA =丄NBOC ZB=丄ZAOC Z-ZAOB。2 ， 2 ， 21 ABC的内心一二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。般用字母I表示，它具
2、有如下性质：性 质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。12. 三角形的面积=-三角形的周长 内切圆的半径.23. AE 二 AF ,BF 二 BD,CD 二CE ；AE BF三角形的周长的一半。11 14. BIC =90 A, CIA =90 B , AIB =90 C。2 2 2三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。AABC的垂心一般用字母 H表示。t性 质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH _ BC,BH _ AC,CH _ AB。2. ABH的垂心为C , BHC的垂心为A , ACH的垂心为B。ABC的重心一般用字母 G表示。四、三角形的“重
3、心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。性 质：1. 顶点与重心G的连线必平分对边。2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即 GA =2GD,GB =2GE,GC =2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即 xXA XB XCyA 5 +yc，亍-4.向量性质:(1)GA GB GC =0;(2)5. S.BGC = S.CGAPG J (PA PB PC),3=SaGBS ABC 3五、三角形“四心”的向量形式:#OA OB=OB OC =0C OA,结论1若点0为. ABC所在的平面内一点，满足则点0为. ABC的垂心。2 2 2 2 2 2结论2：若点
4、OABC所在的平面内一点，满足OA BC =OB CA =OC AB ,则点O为- ABC的垂心。结论3：若点G满足GA GB GC = 0，则点G为 ABC的重心。- 1 _ 结论4：若点G为 ABC所在的平面内一点，满足 OG (OA OB OC ),3则点G为ABC的重心。结论5：若点I为. ABC所在的平面内一点，并且满足 a IA b IB c 0(其中a,b,c为三角形的三边)，则点I ABC的内心。结论6：若点O为- ABC所在的平面内一点，满足(OA OB) BA 二(OB OC) CB 二(OC OA) AC，则点 O 为 ABC 的外心。AB ac结论7：设0,则向量AP V(),则动点P的轨迹过 ABC的内心。|AB| |AC|#
