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1、第一章 行列式授课题目 1.1数环和数域授课时数:2课时教学目标:1.了解数学问题的讨论与涉及的数的范围有关,而且与所允许使用的运算有关2.掌握判定数环、数域的方法;3.能证明有关数环、数域的一些结论教学重点:数环和数域的定义,判定。教学难点:数环和数域的判定教学过程:一 数的范围与运算的封闭性 1数的范围 许多数学问题与涉及到的数的范围有关,如二次方程内有解,又如、内都有不同的结果。 2数的运算的封闭性 整数集,对加、减、乘三种运算是普遍可施行的,但对除法,运算结果不一定在其中,不能普遍施行。有理数集(、)对加、减、乘、除可普遍施行。因此数集可分成两类来加以研究。* 数的范围数集运算的封闭性
2、分类 为了讨论方便,我们给出运算封闭的定义:在数集S中,任取两数作某种运算,若其结果仍在S中,则称数集S对于这种运算是封闭的。二 数环及例子 1数环 定义1.设S是复数集C的一个非空子集,如果S中任意两个数的和、差、积仍是S中的数,则称S是一个数环。定义复数集C的一个非空子集S作成数环当且仅当S对于数的加、减、乘三种运算封闭。由定义可得:1)零数环是最小数环;2)所有数环都包含零数环。2例子例1设n是某一整数,则 是一个数环.事实上, 特别地,例2两个数环的交是一个数环,两个数环的并一定是数环吗?证 设是两个数环,因为,所以,如果,那么,.又因为均是数环,所以两个数环的并,不一定是数环.如不是
3、数环有限个数能否组成数环?(请同学思考回答)能,只有零环有多少个数环? (请同学思考回答) 从例1或例2都可以看出有无限个数环。三、数域及性质1数域 定义2 设F是至少含有两个数的数环,对任意,有 , 则称F是一个数域。为什么要求至少含两个数?保证除法切实可进行 便于研究(推导有关结论)排除0即是数环又是数域2例子 例如,、都是数域。N,Z不是数域,例1、例2中的数环不是数域.例 3 证明证 显然F是显然一个数环,且,所以 成立。设否则在d=0的情形不将c=0, 又由于 所以 . 有限个数能否组成数域?有多少个数域?3性质定理1.1.1 任何数域都包含有理数域。证 设F是任意一数域,。证由于0,1均属于F,于是对任何正整数m有: 从而因此,F包含一切有理数,练习1证明两个数环的交还是数环。2设F是至少含两个不同数的集合。证明:如果F中任意两上数的差与商(除数不为0)仍属F,则F是数域。例4 下列数集中作成数环的有,作成数域的有。(1); (2);(3);(4);(5)思考题:(下次课抽问) 上面练习 习题1.1,1题(p3) 求含作业:(P6)1,2,3,4