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1、向量前期准备知识、渔角坐标片 项式运算 三角函数 （平面几何空间向量）基本定理、向量知识框架1.向量相关知识平面向量泸物理中矢量 卩矗类比 侯孟挣0J有向线段、2向量基本知识点雇橇卷I年閒向野Y空间向量）问童数童积）二、基本概念与原理1. 向量相关概念1.1向量：有大小有方向的量。向量a的大小称为向量a的模，记为a1.2有向线段：具有方向的线段。有向线段的三要素：起点、方向、长度.1.3零向量：长度为o的向量。单位向量：长度等于1个单位的向量.1.4平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平 行.1.5相等向量：长度相等且方向相同的向量.2. 向量线性运算2.1向量加法运
2、算法则:三角形法平行四边形法则aa三角形法则的特点：首尾相连；平行四边形法则的特点：共起点. 2.2向量减法运算法则：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.2.3运算性质：交换律：a+b = b+a ；结合律：Ca+b)+ c = a+6+c乂a+0 = 0+a = a.2.4向量数乘运算：实数九与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a 且有|九诃=|引a| ； 当九0时，九a的方向与a的方向相同；当九 o时，九a的方向与a的方向相反；当九二0时，九a = 0.运算律:九(ya)=(九y)a :(九+ y)a 二九a +ya ； 九(a+b)3. 平面向量基本定理:3
3、.1如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意 向量a,有且只有一对实数九,九，使a二九e+九e。1 2 11 2 2其中不共线的两个向量e 1和e2叫做这一平面内所有向量的一组基底3.2已知两个非零向量a和b，作OA = a , OB = b。则ZAOB= e(0o 0 180o)叫做向量a和b的夹角。显然，e= 0o时，向量a和b同向；e= 180o时，向量a和b反向 3.3如果向量a和b的夹角是90。，则向量a和b垂直，记作a丄b。4. 向量坐标表示4.1正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。在直角坐标系中，取与x轴方向相同单位向量i，取与y轴方向
4、相同的单位向量j ,以这两向量为基底，平面内的任意一个向量a都有：a = xi + yj。4.2坐标表示：平面内的任一个向量a都由一组x,y唯一确定，我们把这样的有序数对(x, y)叫做向量a的坐标。记为a =(x, y)，该记法称为向量的坐标表示。4.3向量坐标运算设a = (x,y ),b = (x ,y ),X eR11 2 2a + b = (x + x , y + y )， a - b = (x - x , y - y )，12 1 2 12 12两向量和(差)的坐标分别等于这两向量相应坐标的和(差)。 X a =(九 x , X y )，1 1实数与向量积的坐标等于用这个实数乘以向
5、量相应的坐标。若 O(x , y )， A(x , y )，则 OA = (x -x , y - y )1 1 2 2 2 1 2 1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。 4.4共线、垂直坐标表示设 a = (x , y ),1 1规定：零向量与任一向量的数量积为0。5.2运算律a - b = b - a ；a - c + b - c*+ a / b o x - y 一 x - y = 0 或 a / b o a = X b ；1 2 2 1BpIFf a 丄 b o x - x + y - y = 0 或 a 丄 b o a - b = 01 2 1 25. 向量数
6、量积5.1平面数量积向量已知两个非零向量a和b，把数量-bcos0叫做向量a和b的数量积或内积，记作a -b，即a -b = a - b cos0，其中6是向量a和b的夹角。5.2向量投影a cos0 ( b cos0 )叫做a在b方向上(或b在a方向上)的投影。5.3数量积坐标表示设 a = (x , y ), b = (x , y )1 1 2 2*F(x + x 匕 +(y + y 匕1212 x E + (y y E1212a - b = x - x + y - y 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。 5.4向量模坐标表示 若 a = (x, y)，则 a = Jx2 + y2
7、，或5.5设a =(x,y ), b = (x ,y ), 6是向量a和b的夹角,1 1 2 2xx + y y1212a-b Jx2 + y 2 Jx 1 1 :6.空间向量定义a - bcos 0 =61空间向量：与平面向量一样，在空间中，具有大小和方向的量。 向量的大小叫做向量的长度或模； 零向量：长度为0的向量，记为：0。单位向量：模为1的向量。6.2相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，称为向量a的相反向量。记为-a相等向量：长度相等且方向相同的向量。6.3直线的方向向量： 直线l平行于非零向量a，则称向量a是直线l的方向向量。6.4共面向量：平行于同一个平面的向量。7.运算律
8、交换律：a + b = b + a ；结合律：a + b )+ c = a + (b + c )；a + 0 = 0 + a = a 九(pa)=(九p)a ；(九 + |H)a = Xa +；X(a + b)= Xa + Xb8.平行向量定理空间任意两个向量a,b， a /b o a =b9.空间直线的向量表示形式如图，直线l为经过已知点A且平行于向量a，对空间任意一点0,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP二OA + ta。在直线1上取AB二a，则有OP二OA + tAB。6.5向量共面定理如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y )，使p 二 xa + yb推理：如图，空间一点P位于平面ABC内 的充要条件是存在有序实数对G, y)，使AP = xAB+yAC。或对空间中任意点0,有OP 二 OA + xAB + yAC。6.6空间向量数量积已知两个非零向量a和b，把数量a - b cos 叫做向量a和b的数量积或内积，记作a - b，即a - b = a - b cos ，其中是向量a和b的夹角。规定：零向量与任一向量的数量积为0。特另U地，a - a 二 a - a cos = a运算律F-F-a - b = b - a；(a)b=4 b)= ab)； (a+b)c=a c+b c
