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1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1(北京模拟)如图,直线AB经过第一象限,分别与x轴、y轴交于A、B两点,P为线段AB上任意一点(不与A、B重合),过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为C、D设OCx,四边形OCPD的面积为S(1)若已知A(4,0),B(0,6),求S与x之间的函数关系式;(2)若已知A(a,0),B(0,b),且当x 时,S有最大值 ,求a、b的值;PBOCAxyD(3)在(2)的条件下,在直线AB上有一点M,且点M到x轴、y轴的距离相等,点N在过M点的反比例函数图象上,且OAN是直角三角形,求点N的坐标1解:(1)设直线AB的解析式为ykxb由A(
2、4,0),B(0,6),得 解得 直线AB的解析式为y x6OCx,P(x, x6)Sx( x6)即S x 26x(0x4)(2)设直线AB的解析式为ymxnOCx,P(x,mxn)Smx 2nx当x 时,S有最大值 解得 直线AB的解析式为为y2x3A( ,0),B(0,3)即a ,b3(3)设点M的坐标为(xM ,yM),点M在(2)中的直线AB上,yM2xM3点M到x轴、y轴的距离相等,xMyM 或xMyM当xMyM 时,易得M点的坐标为(1,1)过M点的反比例函数的解析式为y 点N在y 的图象上,OA在x轴上,且OAN是直角三角形点N的坐标为( ,)当xMyM 时,M点的坐标为(3,3
3、)过M点的反比例函数的解析式为y 点N在y 的图象上,OA在x轴上,且OAN是直角三角形点N的坐标为( ,6)综上,点N的坐标为( ,)或( ,6)2(北京模拟)已知点A是双曲线y (k10)上一点,点A的横坐标为1,过点A作平行于y轴的直线,与x轴交于点B,与双曲线y (k20)交于点C点D(m,0)是x轴上一点,且位于直线AC右侧,E是AD的中点(1)如图1,当m4时,求ACD的面积(用含k1、k2的代数式表示);(2)如图2,若点E恰好在双曲线y (k10)上,求m的值;(3)如图3,设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F,当m2时,若BDF的面积为1,且CFAD,求k1的值,并直接写
4、出线段CF的长图2EBOCAxyD图3EBOCAxyDF图1EBOCAxyD解:(1)由题意得A,C两点的坐标分别为A(1,k1),C(1,k2)k10,k20,点A在第一象限,点C在第四象限,ACk1k2当m4时,SACD ACBD ( k1k2)EBOCAxyDG(2)作EGx轴于点G,则EGABE是AD的中点,G是BD的中点A(1,k1),B(1,0),D(m,0)EG AB ,BG BD ,OGOBBG 点E的坐标为E( ,)点E恰好在双曲线y (k10)上 k1 k10,方程可化为 1,解得m3(3)当m2时,点D的坐标为D(2,0),由(2)可知点E的坐标为E( ,)EBOCAxy
5、DFSBDF 1, BDOF1,OF2设直线BE的解析式为yaxb(a0)B(1,0),E( ,) 解得 直线BE的解析式为yk1xk1线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F,k10点F的坐标为F(0,k1),OFk1k12线段CF的长为 3(上海模拟)RtABC在直角坐标系中的位置如图所示,tanBAC ,反比例函数y (k0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),BDE的面积为2(1)求反比例函数和直线AB的解析式;BOCAxyDEF(2)设直线AB与y轴交于点F,点P是射线FD上一动点,是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与AEO相似?若存在,求点
6、P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y (k0)的图象上BOCAxyDEHF 得n2m过点E作EHBC于H,连接DE在RtBEH中,tanBEHtanBAC ,EH2,BH1D(4,m),E(2,2m),B(4,2m1)SBDE BDEH ( m1)22,m1D(4,1),E(2,2),B(4,3)点D(4,1)在反比例函数y (k0)的图象上,k4反比例函数的解析式为y 设直线AB的解析式为ykxb,把B(4,3),E(2,2)代入得 解得 直线AB的解析式为y x1BOCAxyDEFP(2)直线y x1与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,
7、1),FDx轴,EFPEAO因此以E、F、P为顶点的三角形与AEO相似有两种情况:若 ,则FEPAEOE(2,2),F(0,1),EF 直线y x1与x轴交于点A,A(0,2)BOCAxyDEFP ,FP1P(1,1)若 ,则FPEAEO ,FP5P(5,1)4(安徽某校自主招生)如图,直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上,点A(5n,0)在x轴的负半轴上,OA : AB : OC5 : 5 : 3点D是线段OC上一点,且ODBD(1)若直线ykxm(k0)过B、D两点,求k的值;(2)在(1)的条件下,反比例函数y 的图象经过点B求证:反比例函数y 的图象与直线AB必有两个不同的交点;x
8、yOCABEF设反比例函数y 的图象与直线AB的另一个交点为E,已知点P(p,n1),Q(q,n2)在线段AB上,当点E落在线段PQ上时,求n的取值范围解:(1)A(5n,0),OA : OC5 : 3,点C在y轴的正半轴上C(0,3n)BCOA,点B的纵坐标为3n过点B作BGOA于G,则BG3nxyOCABEFGD设OGx,在RtABG中,(5nx )2(3n )2(5n )2解得xn或x9n(舍去)B(n,3n)设ODt,点D是线段OC上一点,且ODBDt 2(3nt )2(n )2,t nD(0, n)把B、D的坐标代入ykxm,得 解得k (2)比例函数y 的图象经过点B,mn(3n
9、)3n 2y 由A(5n,0),B(n,3n)可得直线AB的解析式为y x n由y 和y x n消去y并整理得:3x 215nx12n 20(15n )24312n 29n 20反比例函数y 的图象与直线AB必有两个不同的交点联立 解得 E(4n, n)当点E过点P时,有n1 n,n4当点E过点Q时,有n2 n,n8当点E落在线段PQ上时,n的取值范围是:8n 45(浙江杭州)在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数yk( x 2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)(1)当k2时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取
10、值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值解:(1)当k2时,A(1,2)设反比例函数为y ,则k1(2)2反比例函数的解析式为y (2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限,kk 0此时二次函数开口向下,故x 才满足要求综上所述,k 0且x (3)yk( x 2x1)k( x )2 k,Q( , k)A(1,k),B(1,k),A、B两点关于原点O对称,即O是AB的中点又ABQ是以AB为斜边的直角三角形,OQOA( )2( k )21 2k 2,解得k 6(浙江义乌)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、
11、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数y 在第一象限内的图象经过点D、E,且tanBOA (1)求反比例函数的解析式;GBFCxOyAHDE(2)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G,求线段OG的长解:(1)在RtBOA中,OA4,tanBOA ABOAtanBOA2,B(4,2)点D为对角线OB的中点,D(2,1)GBFCxOyAHDE点D在反比例函数y 的图象上,1 ,k2反比例函数的解析式为y (2)设点F(a,2),则2a2,CFa1连接FG,设OGt,则OGFGt,CG2t在R
12、tCGF中,FG 2CF 2CG 2t 212( 2t )2,解得t OGt 7(浙江某校自主招生)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P重合),以PQ为边,PQM60作菱形PQMN,使点M落在反比例函数y 的图象上(1)如图所示,若点P的坐标为(1,0),图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN,若另一个菱形为PQ1M1N1,求点M1的坐标;(2)探究发现,当符合上述条件的菱形只有两个时,一个菱形的顶点M在第四象限,另一个菱形的顶点M1在第二象限通过改变P点坐标,对直线MM1的解析式ykxb进行探究可得k_,若点P的坐标为(m,0),则b_(用含m的代数式表示);(3)继续探究:若点P的坐标为(m,0),则m在什么范围时,符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个?xyO备用图求出符合上述条件的菱形刚好有三个时,点M坐标的所有情况xyPOQMNxyPOQ