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1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D设OCx，四边形OCPD的面积为S（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x 时，S有最大值 ，求a、b的值；PBOCAxyD（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且OAN是直角三角形，求点N的坐标1解：（1）设直线AB的解析式为ykxb由A（
2、4，0），B（0，6），得 解得 直线AB的解析式为y x6OCx，P（x， x6）Sx( x6)即S x 26x（0x4）（2）设直线AB的解析式为ymxnOCx，P（x，mxn）Smx 2nx当x 时，S有最大值 解得 直线AB的解析式为为y2x3A（ ，0），B（0，3）即a ，b3（3）设点M的坐标为（xM ，yM），点M在（2）中的直线AB上，yM2xM3点M到x轴、y轴的距离相等，xMyM 或xMyM当xMyM 时，易得M点的坐标为（1，1）过M点的反比例函数的解析式为y 点N在y 的图象上，OA在x轴上，且OAN是直角三角形点N的坐标为（ ，）当xMyM 时，M点的坐标为（3，3
3、）过M点的反比例函数的解析式为y 点N在y 的图象上，OA在x轴上，且OAN是直角三角形点N的坐标为（ ，6）综上，点N的坐标为（ ，）或（ ，6）2（北京模拟）已知点A是双曲线y （k10）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y （k20）交于点C点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点（1）如图1，当m4时，求ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；（2）如图2，若点E恰好在双曲线y （k10）上，求m的值；（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m2时，若BDF的面积为1，且CFAD，求k1的值，并直接写
4、出线段CF的长图2EBOCAxyD图3EBOCAxyDF图1EBOCAxyD解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）k10，k20，点A在第一象限，点C在第四象限，ACk1k2当m4时，SACD ACBD ( k1k2)EBOCAxyDG（2）作EGx轴于点G，则EGABE是AD的中点，G是BD的中点A（1，k1），B（1，0），D（m，0）EG AB ，BG BD ，OGOBBG 点E的坐标为E（ ，）点E恰好在双曲线y （k10）上 k1 k10，方程可化为 1，解得m3（3）当m2时，点D的坐标为D（2，0），由（2）可知点E的坐标为E（ ，）EBOCAxy
5、DFSBDF 1， BDOF1，OF2设直线BE的解析式为yaxb（a0）B（1，0），E（ ，） 解得 直线BE的解析式为yk1xk1线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k10点F的坐标为F（0，k1），OFk1k12线段CF的长为 3（上海模拟）RtABC在直角坐标系中的位置如图所示，tanBAC ，反比例函数y （k0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2（1）求反比例函数和直线AB的解析式；BOCAxyDEF（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与AEO相似？若存在，求点
6、P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y （k0）的图象上BOCAxyDEHF 得n2m过点E作EHBC于H，连接DE在RtBEH中，tanBEHtanBAC ，EH2，BH1D（4，m），E（2，2m），B（4，2m1）SBDE BDEH ( m1)22，m1D（4，1），E（2，2），B（4，3）点D（4，1）在反比例函数y （k0）的图象上，k4反比例函数的解析式为y 设直线AB的解析式为ykxb，把B（4，3），E（2，2）代入得 解得 直线AB的解析式为y x1BOCAxyDEFP（2）直线y x1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，
7、1），FDx轴，EFPEAO因此以E、F、P为顶点的三角形与AEO相似有两种情况：若 ，则FEPAEOE（2，2），F（0，1），EF 直线y x1与x轴交于点A，A（0，2）BOCAxyDEFP ，FP1P（1，1）若 ，则FPEAEO ，FP5P（5，1）4（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA : AB : OC5 : 5 : 3点D是线段OC上一点，且ODBD（1）若直线ykxm（k0）过B、D两点，求k的值；（2）在（1）的条件下，反比例函数y 的图象经过点B求证：反比例函数y 的图象与直线AB必有两个不同的交点；x
8、yOCABEF设反比例函数y 的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，n1），Q（q，n2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围解：（1）A（5n，0），OA : OC5 : 3，点C在y轴的正半轴上C（0，3n）BCOA，点B的纵坐标为3n过点B作BGOA于G，则BG3nxyOCABEFGD设OGx，在RtABG中，(5nx )2(3n )2(5n )2解得xn或x9n（舍去）B（n，3n）设ODt，点D是线段OC上一点，且ODBDt 2(3nt )2(n )2，t nD（0， n）把B、D的坐标代入ykxm，得 解得k （2）比例函数y 的图象经过点B，mn(3n
9、)3n 2y 由A（5n，0），B（n，3n）可得直线AB的解析式为y x n由y 和y x n消去y并整理得：3x 215nx12n 20(15n )24312n 29n 20反比例函数y 的图象与直线AB必有两个不同的交点联立 解得 E（4n， n）当点E过点P时，有n1 n，n4当点E过点Q时，有n2 n，n8当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：8n 45（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk( x 2x1)的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取
10、值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值解：（1）当k2时，A（1，2）设反比例函数为y ，则k1(2)2反比例函数的解析式为y （2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限，kk 0此时二次函数开口向下，故x 才满足要求综上所述，k 0且x （3）yk( x 2x1)k( x )2 k，Q（ ， k）A（1，k），B（1，k），A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点又ABQ是以AB为斜边的直角三角形，OQOA( )2( k )21 2k 2，解得k 6（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、
11、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y 在第一象限内的图象经过点D、E，且tanBOA （1）求反比例函数的解析式；GBFCxOyAHDE（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长解：（1）在RtBOA中，OA4，tanBOA ABOAtanBOA2，B（4，2）点D为对角线OB的中点，D（2，1）GBFCxOyAHDE点D在反比例函数y 的图象上，1 ，k2反比例函数的解析式为y （2）设点F（a，2），则2a2，CFa1连接FG，设OGt，则OGFGt，CG2t在R
12、tCGF中，FG 2CF 2CG 2t 212( 2t )2，解得t OGt 7（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，PQM60作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y 的图象上（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式ykxb进行探究可得k_，若点P的坐标为（m，0），则b_（用含m的代数式表示）；（3）继续探究：若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？xyO备用图求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况xyPOQMNxyPOQ
