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1、第七讲 万有引力定律 (二)课前预习练118 世纪，人们发现太阳系的第七个行星天王星的运动轨道有些古怪：根据 计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差据此，人们推测，在 天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的 使其轨道发生了偏离2. 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于对物体的，即mg=,式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离.由此可得出地球的质量M=.3. 将行星绕太阳的运动近似看成运动，行星做圆周运动的向心力由提供，则有，式中M是的质量，m是 的质量，r是，也就是行星和太阳中心的距离，T 是.由此可得出太阳的质量为：.4. 同样的道
2、理，如果已知卫星绕行星运动的和卫星与行星之间的，也可以计算出行星的质量.和确立了万有引力定律的地位.5. 应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是运动，向心力由它们之间的提供，即F万=卩向，可以万向用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题.基本公式：V24n 2(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的,即F”=mg,主要用万于计算涉及重力加速度的问题.基本公式：mg=(m在M的表面上)，即GM=gR2.6. 下列说法正确的是()A. 海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的B. 天王星是人们依据万有引
3、力定律计算的轨道而发现的C. 海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D. 天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨 道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星7. 利用下列数据，可以计算出地球质量的是()A. 已知地球的半径R和地面的重力加速度gB. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期TC. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度vD. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T课堂採究练【考点演练】考点一 发现未知天体1科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太 阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着
4、的地球的“孪生兄弟”由以上信 息我们可以推知( )A. 这颗行星的公转周期与地球相等B. 这颗行星的自转周期与地球相等C. 这颗行星的质量与地球相等D. 这颗行星的密度与地球相等考点二 计算天体的质量.解决天体圆周运动问题的两条思路在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引二mg,即G二mg,整理得 GM=gR2。(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即 F 引=F 向。一般有以下几种表达形式:G =mG 二mar G =m r2. 天体质量和密度的计算1. “自力更生”法(gR)利用天体表面的重力加速度g和天体半径Ro(1) 由GR2=mg得天体质量M=gG2o
5、MM 3g(2) 天体密度 p=V=4 =4Tgr03nR3(3) GM = gR2称为黄金代换公式。2. “借助外援”法(T r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径ro、亠 Mm 4n2r,n 十，亠“冃4n2r3(1 )由G2=mT2得天体的质量M=仑丫 2。M M3nr3(2) 若已知天体的半径r,则天体的密度p=v=4一=GT莎？3nR3ry(3) 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度p=GTn2 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。典例 2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人 返
6、回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航 天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工 程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过 时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s,航天器与月球的中心连线扫过 角度为e,引力常量为G,贝IA. 航天器的轨道半径为2B.航天器的环绕周期为呼seqa a aC.月球的质量为缶D.月球的密度为4Gt2s解析根据几何关系得r=-，故A错误；经过时间t,航天器与月球的中心连线扫 过角度为-贝yT=2-n，得丁=詈，故b正确；由万有引力充当
7、向心力而做圆周运动，所 以GM2=m4nfr,得Mm42：=Gt2 故C正确；月球的体积V=r3=4GZ2s3n)3，月球的密度P=V=4s ) =42,故D错误。汎-丿3答案 BC易错提醒(1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体 的质量,并非环绕天体的质量。(2) 区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r=R；计算天4体密度时，V=nR3中的R只能是中心天体的半径。针对训练1. （2015江苏高考）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕
8、其中心恒星做匀速圆1周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的20。该中心恒星与太阳的质量比约为 （）A110C5B1D10解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMm4n2=mT2（半）2 3=（%（晋）2，选项B正确。答案：B距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少【方法技巧训练】应用万有引力定律分析天体运动问题的方法6. 近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则（）=（曇）4/3=岸）4/3=诰）2=（晋）27.
9、 已知地球半径R=X106m，地面附近重力加速度g=9.8m/s2计算在距离地面高为h = 2X106m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.1. 若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则 可求得（ ）A. 该行星的质量B.太阳的质量C.该行星的平均密度D.太阳的平均密度2. 有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加度的 4倍,则该星球的质量将是地球质量的（ ）B. 4 倍C16 倍D64 倍3火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨半径约为地球绕太阳公转半径的倍根据以上数据，下列说
10、法中正确的是( )A. 火星表面重力加速度的数值比地球表面小B. 火星公转的周期比地球的长C. 火星公转的线速度比地球的大D. 火星公转的向心加速度比地球的大4. 若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T,引力常量为G, 那么该行星的平均密度为( )5为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011 年 10 月发射第一颗火探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为hi和h2的圆轨道上运动时， 周期分别为T1和T2火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常 量为G仅利用以上数据，可以计算出()A. 火星的密度和火星表面的重力加速度B. 火星的
11、质量和火星对“萤火一号”的引力C. 火星的半径和“萤火一号”的质量D. 火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力6.设地球半径为R, a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆 周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r下列说法中正确的是)A. a与c的线速度大小之比为飞；：Rb与c的周期之比为b与c的周期之比为C.D.7.2008 年 9 月 27 日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务,他的第一次动，空行走标志着中国航天事业全新时代的到来“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运其轨道半径为r,若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r,则可以确
12、定 ()A. 卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1 : 4B. 卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1 :迈C. 翟志刚出舱后不再受地球引力D. 翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如一不小心使实验样品脱手，则它 将做自由落体运动8“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T,已知引力常量为G,半径为R4的球体体积公式V=3nR3，则可估算月球的()A.密度B.质量C.半径D.自转周期9.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动其中有两个 岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=X10
13、4km和rB=X105km，忽略所 有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)(1) 求岩石颗粒A和B的线速度之比.(2) 土星探测器上有一物体，在地球上重为10N,推算出它在距土星中心X105km处 受到土星的引力为.已知地球半径为X103km，请估算土星质量是地球质量的 多少倍11中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到1它的自转周期为t=30s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不 致因自转而瓦解(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G=X10-iim3/(kgs2)第 3 节 万有引力定律的应用课前预习练1. 万有引力定律吸引2地球 引力
14、GMm gR2RT TGMm 2n3. 匀速圆周太阳对行星的万有引力百二血“)2太阳行星行星绕太阳运动4n 2r3 的轨道半径行星绕太阳运动的公转周期m=_gt厂4周期 距离 海王星的发现 哈雷彗星的“按时回归”5GMmGMm(1)匀速圆周 万有引力r丁 (2 )万有引力 帀6MmgR27ABCD 设相对地面静止的某一物体的质量为m,则有G=mg得，所以A选Mm 4n2r4n 2r3项正确.设卫星质量为m,则万有引力提供向心力，G=叶亍得M=gt厂，所以B选项Mm v2v2r正确.设卫星质量为m,由万有引力提供向心力，G=m：,得皿=百，所以C选项正确.设卫星质量为m,由万有引力提供向心力，Gr2=mw2r=mvw=m，由v=rs = r罕，j肖v3T去r得M=2G，所以D选项正确.课堂探究练1. A2. BCD3. D点评天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体 做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算问题有如下两种：已知行星的运动情况，计算太阳质量.(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量. , GMm 4n 2、4n 2R3,4M 、 3n4. C 因为 r2 =m ” r,所以 M= gt2，又因为 V=nR3, P=V，所以 p
