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1、解完题目回头看不论是平时的练习，还是参加考试、竞赛，我们解题的目的都是检验自己运用知识的能力，开发智力，增长才干。因此，解完题目如能做到及时总结经验教训、多提新的问题、努力找出最佳解法，有助于我们对数学知识、方法的理解和运用，从而提高解题能力。一、 分析错误原因对错误的解答，要能够认真分析错误原因。搞清楚是理解题意有误、还是计算错误，是考虑问题不全面、还是解题思路有问题。认真反思，吸取教训，你离成功就不远了。例1 甲乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车行完全程需要5小时，乙车行完全程需要6小时。两车在距中点18千米处相遇。A、B两地全程是多少千米？分析：已知两车行完全程的时间，可以得到两车行相
2、同路程的时间比。又因为在路程一定的情况下，时间与速度成反比关系，于是可得到两车的速度比。根据速度之比就可以确定两车的相遇点了。解答：甲乙两车的速度比为：65。可以将全程看作11份，相遇时甲车行了6份，乙车行了5份。由题意可知，18千米相当于这样的（6-5）2=0.5份。因此，A、B两地全程为180.511=396（千米）。说明：此例题容易误解为18（6-5）11。错误原因是将18千米误认为是相遇时甲比乙多走的1份。画线段图帮助理解题意可以避免此类错误。例2 真分数化成循环小数后，小数点后面连续n个数字之和是2020，求m的值。分析：分母为7的真分数化成循环小数后，小数部分的数字以“1、4、2、
3、8、5、7”这6个数为一个循环周期，只是次序不同。如，。显然，求出最后一个循环周期的情形，即可求得m的值。解答：由2020（1+4+2+8+5+7）=202027=7422可知，最后一个循环周期中数字和少了27-22=5。这说明最后一个不完整的循环周期有以下两种可能：一种是“71428”，另一种是“2857”。对于前一种，m=5，对于后一种，m=2。因此，本题中m的值应为2或5。说明：此例题容易丢解。原因是考虑问题不够全面。例3 如图1，等腰直角三角形ABC，直角边长1分米，将B点固定顺时针旋转90o，如图2，求斜边AC在旋转过程中扫过的面积。分析：AC边上每一点在旋转过程中的轨迹均为一段弧，
4、半径最长的显然是A、C两点的轨迹，而最短的则是过B点的AC边垂线的垂足D的轨迹，其间的部分即为所求。解答：由上面分析可知，所求面积即为图3中阴影部分。显然，阴影由大等腰直角三角形内、外的两部分组成，可以由半圆面积中减去大等腰直角三角形面积求得外面的一部分（两个弓形）。里面的一部分初看上去似乎不太容易求，但对于图4来说，若已知正方形面积求阴影面积是很容易的，本题中此部分阴影相当于图4中阴影部分的。因此， （平方分米）即斜边AC在旋转过程中扫过的面积为0.6775平方分米。说明：此例题容易误解为即只求出大等腰直角三角形外两个弓形的面积。错误原因是只考虑了旋转的开始和结束时AC边的位置，而忽视了中间
5、的旋转过程。例4 A、B、C、D、E五人小组分工合作解决一项要求20分钟完成的任务，但至完成时多用了2分钟。事后总结时发现：当时若将A、E分担的工作互换，全组的工作就能够按规定时间完成；当时若将B、D分担的工作互换，全组的工作就能提高效率。那么，当时若将A、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组就可以比规定时间提前几分钟完成任务？分析：全组完成此项任务的实际工作效率是，若将A、E分担的工作互换，全组的工作效率就是，再求出若同时将B、D分担的工作也互换全组的工作效率，就可求得工作时间。解答：若将A、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组的工作效率应为全组完成任务的时间
6、则为（分）比规定的时间提前了（分）所以，当时若将A、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组就可以比规定时间提前分完成任务。说明：此例题易误解为（分）。错误原因是理解题意有误。题中A与E和B与D分别互换工作使全组工作效率提高都是针对“当时”（即全组工作效率为时）而言的。实际上，交换岗位的人只是通过互相影响对方的工作效率而使全组工作效率发生变化，对其它人的工作效率不会产生影响。否则，就需要更多的已知条件，应用更为复杂的数学方法来解决了。二、 提出新的问题对于一些熟悉的、典型的题目，应该能够引申开来，想一想还能提什么样的问题，反过来提问行不行，。这样做有利于举一反三，是事半功倍的好方法
7、。例如，同学们一定很熟悉1+2+3+99+100或23+24+25+66+67+68这样的连续自然数求和问题，我们可以考虑反过来的问题：如果已知一个自然数，判断它能否表示成若干个连续自然数之和的形式，如果能，是哪些连续自然数之和？请看下面的例子：例5 2002能否表示成若干个连续自然数之和？如果能，有几种不同的表示方法？分析：如果2002能够拆成若干个连续自然数之和的形式，那么只需求出这些连续自然数的个数和最小的一个是几，就可以找出相应的拆法。为此设2002可以拆成个连续自然数之和，最小的一个为。则有：将个合并起来就有：也就是： 或者： 即： 观察上式，不难发现下面两个结论：与的奇偶性相反（因
8、为必为奇数，如果是奇数，则是偶数；如果是偶数，则是奇数）；（因为1，所以+1）。也就是说，如果4004可以表示为一奇、一偶两个因数（4004的约数且奇数不能是1）相乘的形式，就可以找到相应的一组与的值。4004有几种这样的表示形式，就有几组不同的与的值与之相对应。解答：根据以上分析，除1外它的奇约数有7、11、13、711、713、1113、71113七个，相应的则有： 分别解得： 这样，说明2002可以表示成若干个连续自然数之和的形式，且有七种不同的表示方法，分别是： 说明：（1）实际上，由于4004的奇约数与2002的奇约数情况完全相同，所以也可以说：2002有几个不同的奇约数（1除外），
9、就有几种不同的表示为若干个连续自然数之和的方法。推广到一般情形，对于一个自然数N，如果有个不同的奇约数（1除外），N就有种不同的表示为若干个连续自然数之和的方法；（2）对于2002，我们还可以提另外的问题。如2002能否表示成若干个连续偶数之和？2002能否表示成若干个连续奇数之和？如果能，有几种不同的表示方法？请你试着分析一下，给出解答。再请看下面这样一个熟悉的问题：例6 1100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈周围。从1开始沿顺时针方向进行如下操作，保留1，划去2；保留3，划去4；，如此每隔一个数，划去一个数，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？分析：我们先从简单情况研究
10、，归纳出问题的规律，再应用规律解题。如果圆周上有2个数1、2，最后剩下1；如果有3个数1、2、3，最后剩3；如果有4个数1、2、3、4，最后剩1；如果有5个数15，最后剩的是3；如果有6个数16，最后剩的是5；如果有7个数17，最后剩的是7；如果有8个数18，最后剩的是1。我们发现当圆周上数的个数是2、4、8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，操作一圈，划去2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，操作一圈，又划去2个，还剩从1开始的两个数，划去1以外的数，最后剩1。显然，圆周上数的个数是16、32、64、2n时，最后剩的都是起始数1。
11、当圆周上数的个数是3时，划去2，就剩2个数，最后应剩下一步操作的起始数3；数的个数是5时，划去2，剩4个数，最后应剩下一步操作的起始数3。根据以上规律，如果有18个数，划去2、4，剩下16个数，再划下去，最后还应剩下一步操作的起始数5。就是说，划去若干个数后，当剩下的数的个数恰好是2n 时，下一步操作的起始数就是最后一个剩下的数。解答：根据以上分析，由于64=26，128=27，2610027，100-64=36，也就是说，要剩26个数，需要划去36个数，按题意，最后划去的数是362=72，下一步操作的起始数是73，那么最后剩的就应该是73。说明：（1）本例是由著名的约瑟夫斯问题改编的。对于“
12、把1n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈周围。从1开始沿顺时针方向进行如下操作，保留1，划去2；保留3，划去4；，如此每隔一个数，划去一个数，转圈划下去。那么最后剩下的一个数x是几？”这样的题目，我们可以得到一个一般性的结论： 若2kn2k+1，k是自然数，最后剩下的一个数x=（n-2k）2+1。（2）我们还可以提出一些新的问题，如： 按原题操作规则，如果最后剩下的一个数是11，那么开始时圆周上至少有多少个数？ 按原题操作规则，如果最后剩下的一个数是11，且开始时圆周上的数不少于500个，那么开始时至少有多少个数？ 将原题的操作规则改为“从1开始，划去1，保留2；划去3，保留4；，转
13、圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？ 将原题的操作规则改为“从1开始，保留1、2，划去3；保留4、5，划去6；，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？ 将原题的操作规则改为“从1开始，划去1，保留2、 3；划去4，保留5、 6；，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？请你再提出一些新问题，与上面几个问题一起当作练习题来完成吧！下面的例题很容易看出是在某种操作类问题基础上反过来提出的：例7 一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数p；第二次操作将两个半圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；第三次操作将四个圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；如
14、此进行了n次操作后，圆周上所有已标数的总和为11130。求n和p的值各为多少？分析：本题不宜采用上例“从简单情况入手”的分析方法。我们直接来考虑第k次（k=1、2、3、n）操作后与第k-1次操作后圆周上所有已标数总和之间的关系。设第k次操作后圆周上所有已标数总和为Sk，由题意可知，第k次操作新产生一些分点，这些分点上所标数均为相邻两数之和的，所以这些新产生的分点上所标数之和是上一次（即第k-1次）操作后圆周上所有已标数总和（即Sk-1）的2倍的。由此得到Sk与Sk-1之间的关系为：即： 下面我们用递推的方法来求得Sn与S1之间的关系：解答：由上面分析知：由题意知： 因此： 由题意可得： 即： 上式中，因p为质数，所以p的值只可能为：2、3、5、7、53。经验证，仅当p=3时，其余质因数可表示为两个连续自然数的乘积：（253）（357）=106105=（n+2）(n+1)显然，此时n=104。所以，本题中n与p的值分别为104、3。说明：在本例的分析中，我们直接由某次操作后与上一次操作后圆周上所有已标数总和间的关系入手，进而得出第n次操作后与第1次操作后圆周上所有已标数总和间的关
