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1、.wd.?圆内接四边形与四点共圆选学?教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在许多题目的条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。确定四点共圆的方法有哪些呢思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。假设连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。这三边的中垂线的交点就是圆心。产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 基本模型：AO=BO=CO=DO A、B、C、D四点共圆O为圆心思路二：从被证共圆的四
2、点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理：对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角互补。 基本模型：或 A、B、C、D四点共圆张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，那么这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，假设能证明其顶角即：张角相等(同弧所对的圆周角相等，从而即可肯定这
3、四点共圆。 A、B、C、D四点共圆同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。产生原因：直径所对的圆周角是直角。 A、B、C、D四点共圆外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。 基本模型： A、B、C、D四点共圆用相交弦定理或切割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，假设能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。相交弦定理的逆定理产生原因：相交弦定理。 基本模型： A、B、C、D四点共圆把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，假设能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段
4、之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆割线定理的逆定理产生原因：割线定理。 基本模型： A、B、C、D四点共圆二、新课探究例1、如图，AD、BE、CF是锐角的三条高，H为垂心。1图中共有多少组四点共圆2求证：。分析：练习：锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四点共圆的组数是A、4组 B、5组 C、6组 D、7组分析：例2、ABC为等腰直角三角形，C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于_。分析：理由：教师小结：在四点共圆的题目的条件中，通常没
5、有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在的圆找出来，然后再借助圆的性质进展相应的推导。练习：2011湖北武汉中考题改编如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，那么四边形BCDG的面积记作：S四边形BCDG与边CG的关系是_。分析：S四边形BCDG=CG2理由：BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60=BCD，点B、C、D、G四点共圆，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60。BGC=DGC=60。过点C作CMGB于M，CNGD于N那么CBMCDNHL。S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形
6、CMGN=2SCMG。CGM=60，GM=CG，CM=CG，S四边形CMGN=2SCMG=2CGCG=CG2。例3 如图，锐角中，且O、I、H分别为的外心、内心和垂心。求证：OI=IH。分析：连结AO、AI、OC、IC、HC。 练习：如图，四边形内接于一圆，的内心是，的内心是，的内心是。求证：1A、I、I、A四点共圆；2=90。分析：三、反响训练 如图，O是RtABC斜边AB的中点，CHAB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BEAF于E，连接DE交BC于G。求证：CAF=CDE；分析：四、课外拓展1、ABC中，ACB=90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线
7、AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EFAB。2、如以下列图，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆。3、如图，BD，CE是ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心求证：AOFG。题单1、假设一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，那么这个梯形是_梯形。分析：2、如图，ABC中，BAC90，ADBC，BEAC，且AD、BE交于点H，连接CH，那么ACH+BAE=_。提示：过A作O的切线交BC的延长线于点F。答案：90理由：3、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：
8、E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上。分析：4、如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm。P为正方形内一点，且OPB=45，PA：PB=5：14那么PB=_。提示：连结OA、OB分析：42cm。理由：5、2011山东济南中考压轴题如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD与BCE都是锐角，且ACDBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：APCBPC。分析：解：(1)证：ACDBCE，ACEDCB。又CACD，CE CB，ACEDCBASA。2ACMDPM。理由如下：ACEDCB，CAECDB，即CAMPDM。又CMAPMD，ACMDPM。3证：CAECDB，点A、C、P、D四点共圆。APCADC。同理，BPCBEC。又等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACDBCE，ADCBEC。APCBPC。
