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1、04-09陕西中考函数压轴题AO(第24题图)EBGxCyE24. （04陕西）如图，在RtABC中,ACB=90,BCAC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.（1）求C点的坐标；（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点P，使ABP与ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+
2、2(m-3)=0的两个根，又OA2+OB2=17，（OA+OB）2-2OAOB=17.（3）把（1）（2）代入（3），得m2-4(m-3)=17.m2-4m-5=0.解之，得m=-1或m=5.又知OA+OB=m0，m=-1应舍去.当m=5时，得方程x2-5x+4=0.解之，得x=1或x=4.BCAC,OBOA.OA=1,OB=4.在RtABC中，ACB=90，COAB，OC2=OAOB=14=4.OC=2.C（0，2）.（2）OA=1，OB=4，C、E两点关于x轴对称，A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则所求抛物线解析式为
3、（3）存在.点E是抛物线与圆的交点，RtACBAEB.E（0，-2）符合条件.圆心的坐标（，0）在抛物线的对称轴上，这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.点E关于抛物线对称轴的对称点E也符合题意.可求得E（3，-2）.抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）.ABCDEFOH第24题图xy24（05陕西）如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。（1） 求圆心的坐标；（2） 抛物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数yx的图象上，求抛物线的解析式；（3） 过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判断D、E
4、两点是否在（2）中的抛物线上；（4） 若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）C经过原点O， AB为C的直径。 C为AB的中点。 过点C作CH垂直x轴于点H，则有CHOB，OHOA1。圆心C的坐标为（1，）。（2分）（2）抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上， 顶点坐标为（1，）（3分）把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得ABCDEFOH第24题图xy（4分）解得（5分）抛物线的解析式为。（6分）（3）OA2，OB2， .即C的半径r2。D（3，），E（1，）（7分）代入检验，知点D、E均在抛物线上（8
5、分）（4）AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，满足APB为钝角。1x00，或2x03。（10分）25（06陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子；另一块是上底为30，下底为120，高为60的直角梯形板子（如图），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。（1）求FC的长；（2）利用图求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）若想使裁出的矩
6、形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。解：（1）由题意，得DEFCGF， ，（3分） （2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则 当顶点P在AE上时， 的最大值为（4分）当顶点P在EF上时，过点P分别作于点N，于点M。根据题意，得GFCGPN，当时，的最大值为2400（）（7分）当顶点P在FC上时，的最大值为。（8分）综合，得时，矩形的面积最大，最大面积为2400（9分） （3）根据题意，正方形的面积与边长满足的函数表达式为： 当时，正方形的面积最大，解之，得（舍），（）。面积最大得正方形得边长为48。（12分）DCBPOyx（第24题图）24（07陕西）如图，在直角梯形中，（1）求两点的坐
7、标；（2）若线段上存在点，使，求过三点的抛物线的表达式解：（1）过点作于点，则四边形为矩形，DCBPOyx（第24题答案图）12两点的坐标分别为4分（2），又，即，或点的坐标为，或6分当点的坐标为时，设经过三点的抛物线表达式为，则 所求抛物线的表达式为：9分当点为时，设经过三点的抛物线表达式为，则 所求抛物线的表达式为：10分（说明：求出一条抛物线表达式给3分，求出两条抛物线表达式给4分）24、（08陕西）1 2 3 4 5 6 7 ABCEDOxy1642357（第24题图） 如图，矩形ABCD的长、宽分别为和1，且OB1，点E（，2），连接AE、ED。 （1）求经过A、E、D三点的抛物线的
8、表达式； （2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形AEDCB； （3）经过A、E、D三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由。解：（1）设经过A、E、D三点的抛物线的表达式为y A（1，），E（，2），D（2，）（1分） ， 解之，得过A、E、D三点的抛物线的表达式为y。（4分） 1 2 3 4 5 6 7 ABCEDOxy1642357（第24题图）（2）EDACB （7分） （3）不能，理由如下： （8分） 设经过A、E、D三点的抛物线的表达式为y A（3，），E（，6），D（6，） ，
9、 解之，得 a2， aa经过A、E、D三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到。（8分）yOBAx11（第24题图）24（09陕西）如图，在平面直角坐标系中，且，点的坐标是（1）求点的坐标；（2）求过点的抛物线的表达式；（3）连接，在（2）中的抛物线上求出点，使得yOBAx11（第24题答案图）FEP3P4P2解：（1）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，则， 又，（2分）（2）设过点，的抛物线为解之，得所求抛物线的表达式为（5分）（3）由题意，知轴设抛物线上符合条件的点到的距离为，则点的纵坐标只能是0，或4 （7分）令，得解之，得，或符合条件的点，令，得解之，得符合条件的点，综上，符合
10、题意的点有四个：，（10分）（评卷时，无不扣分）24(2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax+bx+c根据题意，得a- b+c=0 a=9a+3b+c=0 解之，得 b=c=-1 c=-1 所求抛物线的表达式为y=x-x-1（2）AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可。 又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）P2（-4,7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）- 9 -
