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1、基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，z0,zx0,zy0，由切应力互等，z0,xz0,yz0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即x,y,xyyx，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有
2、平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，zx0,zy0，根据切应力互等，xz0,yz0。由胡克定律，zx0,zy0，又由于z方向的位移w处处为零，即z0。因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即x,y,xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）轴对称；在空间问题中，如果
3、弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。平衡微分方程:（1）平面问题的平衡微分方程;xxxyXyxyyy0（记）fy0（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；f01、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。二、几何方程；（1）平面问题的几何方程；uxxyV（记）yVuxyxy（2）平面问题的几何方程（极坐标）u12u1V12vuV121、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、
4、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移）三、物理方程；（1）平面应力的物理方程；1xE1yE21x(记)xyxy(2)平面应变的物理方程;21x一E12厂y1xy(3)21E极坐标的物理方程xy(平面应力)；1(1(丄G2(1)E(4)极坐标的物理方程(12w(2(1)E边界条件；四、(1)几何边界条件;平面问题:(2)应力边界条件;lxmyx平面问题：lxymyxy在su上;fx-(记)fy（3）接触条件;光滑接触：nn门为接触面的法线方向非光滑接触：nnn为接触面的法线方向Un山（4）位移单值条件；UU2(5)对称性条件:在空间问题中，如果弹性体的
5、几何形状、约束情况，以及所受的外力作用,都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题一、概念1弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。2固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛5弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几
6、何学和物理学三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；7弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效
7、的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。15求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为h/2h/2(x)xidy1Fnh/2h/2(x)xiy
8、dy1Mh/2h/2(xy)xidy1Fs会推导两种平衡微分方程17逆解法步骤：(1) 先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数(2) 由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量(3) 在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件，分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。(或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数18半逆解法步骤:(1) 对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假
9、设部分或全部应力分量的函数形式(2) 按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式(含待定函数项)；(3) 将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；(4) 将应力函数f代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全5平面问题的应力边界条件为(xlxym)sfx(s)填空(xylym)sfy(s)h/2h/2-计h/2(x)xidy1h/2fx(y)dy17圣维南原理的三个积分式h/2h/2算h/2(x)xiydy1h/2fx(y)ydy1理h/2h/2-h/2(xy)xidy1fy(y)dy1h/2y
10、解8艾里应力函数x2(x,y)2fxX,y2(x,y)2fyy，xy2(x,y)yxxy计算、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A相容方程B近似方法C边界条件D附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A. 几何上等效B.静力上等效C.平衡D.任意A. 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（B）0平衡方
11、程、几何方程、物理方程完全相同平衡方程、几何方程相同，物理方程不同平衡方程、物理方程相同，几何方程不同平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV的平，结果比较精确。4不4干4干4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为肓2县V0，xxyy2qx6设有函数43234卷3y1蓝2占丫h3h5h3h（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（Ih）。（15分）解：4不4干4干（1）将代入相容方程心岁0，显然满足。因此，该函数可以作为x4x2
12、yy应力函数。0h/2h/2/(2)应力分量的表达式:6qx2y4qy3h3h33qy3h3yhxy6qxy2考察边界条件:在主要边界y=h/2上，应精确满足应力边界条件gyh22qh2qyh223yhxy6qxh2h4yh2在次要边界x=0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2odyh/2h/24qy33qyh33hdy0(奇函数)h/2h/2oydyh/2h/24qy33qyh33hydy0h/2h/2xy0dy在次要边界x=I上,应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2h/2idyh/26ql2yh34qy3h33qydy0（奇函数）3hh/2h
13、/2h/2Iydyh/26ql2yh32h/2,h/26q|h2,h/2xyx|dyh/2h34yql对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。1. 20092010学年第二学期期末考试试卷（A）卷一.名词解释（共10分，每小题5分）弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的
14、面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x,y,xy存在，且仅为x,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量x,y,xy存在，且仅为x,y的函数。2. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：40（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，SS）：1xmyxsfx一在ss上my1xysfy（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。1. 二.问答题（36）（12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚1）解：在主要
