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1、原始概念和定义的概念恩格斯在反杜林论中曾对古典数学给出一个精辟的论断：“纯数学的对 象是现实世界的空间形式与数量关系，所以是非常现实的材料但是，为了能 够从纯粹的状态中研究这些形式与关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内 容作为无关紧要的东西放在一边.”恩格斯的论断可以这样理解：几何学的对象侧重研究现实物质世界的空间形 式，而代数和函数等则侧重研究现实物质世界的数量关系.恩格斯的这个论断指 明了：(1) 几何学的对象主要是研究现实世界的空间形式(小至个别物体、局部空 间，大至宇宙空间)；(2) 几何对象来源于客观世界；(3) 几何对象是抽象化和理想化的概念.我们再来看一看现行初级中学课本几何
2、第一册的引言中关于几何学研究 对象的提法：“在生产建设和日常生活中，我们常常需要研究物体的形状、大小 和位置关系，而不是物体的其他性质又写道：“对于一个物体，当只研究它的 形状、大小而不考虑其他性质时，我们就说它是几何体，简称为体“体是由面 围成的，面和面相交于线.线和线相交于点.”“点、线、面或若干个点、 线、面组合在一起，就成为几何图形。“在我们将要学习的几何里，只研究在同 一平面内的图形平面图形推而广之，立体几何就是研究立体图形的.中学几何引言中这一段话，概括地指明了：(1) 中学几何的研究对象是几何图形，它们是点、线、面和由点、线、面组 合而成的其他图形，以及图形和图形间的关系(性质)
3、；(2) 几何学的对象的客观原型是客观世界的物体和关系；(3) 几何对象是抽象化和理想化的概念.在人类的实践活动中，周围的许多事物经常地、反复地引起人们的感觉，形 成印象，开始对物体的形状有了初步的认识；经过由此及彼的分析对比，从个别、 特殊到一般的综合归纳，抛开具体的物体，抛开它们的化学的、物理的等等性质， 逐步抓住表现形的本质属性，从各种形状的一般特征中，抽象出几何图形，于是 就有了没有大小的点，只有长度而没有宽度的线，只有长度和宽度而没有厚薄的 面，以及由点、线、面组合而成的几何体等等.这种从特殊到一般，从具体到抽 象的过程，是人类对形的认识的飞跃，这样才有了几何图形，才能够从纯粹的状
4、态中研究空间形式与关系，从而产生了几何学.例如，“平面”是中学几何中的重要概念.它就是人们对客观存在的水平面、 平滑的石头面以及一切具有平滑的物体表面等等形状中，抓住了它们所共有的平 滑、没有厚度、可以任意延展等所占有的空间形式上的特征，抛开了它们所具有 的化学和物理等等性质，抽象出“平面”概念.这时它已不是某一具体物体的表 面，而是一个抽象化、理想化的思维对象，即概念化了.随着实践的深入，人们 对“平面”的认识也不断地深化，更加认清了“平面”的本质属性；直线有两个点在平面上，则直线上的点都在平面上；两个平面如果相交，则必交出一条直线；过不共线的三个点，有且只有一个平面.此外还有其他属性，这样
5、就把平面和曲面区别开来，“平面”的内涵也就逐步明确起来.几何对象也是理想化的.实际上，球的客观原型总是凸凹不平的，研究这样 十分复杂的曲面体，很难设想会得到现在的关于球的面积公式和体积公式.只有 理想化的球才可以推出现在的公式，而利用这个理想化的公式可以研究与球相近 似的客观原型，如地球、太阳、足球等的面积和体积，虽然和原型相比会产生一 些误差，但可以获得足够精确的结果.几何对象都是通过概念的形式表述出来的，公理化几何的概念分为原始概念 和定义概念两种.1 原始概念原始概念是作为研究内容提出的而本身又不加定义的概念.原始概念包含原始元素（图形）和原始关系两类.原始元素又名“元名”是组成几何图形
6、的最简单、最基本的几何元素.原 始关系又名“元谊”是原始图形间的基本几何关系.从后面的希尔伯特公理系统纲要中可以看出，该系统的原始概念有：原始元素：点、直线、平面.原始关系：结合关系、介于关系、线段合同关系和角合同关系.希尔伯特对原始概念的选择，既少而精，又足以根据它们定义出其他所有的 概念，这是难能可贵的，可称得上是一个典范的工作.用公理化方法建立几何体系，为什么要列举一些没有定义的原始概念?每个 概念都加以定义不是更好吗？实际上，每一个概念都加以定义是不可能的.这是因为按照逻辑的原则，在 定义一个概念时，必须以某些已知概念为根据，而这些已知概念又要根据它们前 面的已知概念来定义，这样追溯下
7、去是无穷尽的，甚至出现某些概念再没有已知 概念来给它们下定义了.为了避免这种“无限的回复”最初需要选择少数不加 定义的原始概念作为基础来定义所有其余的概念.欧几里得在他的几何原本中，试图对每个概念都下定义，例如几何原 本第一卷开头的定义.于是，出现了“面只有长度和宽度”，“面的界是线”“平面是与其上的直线看齐的面”等“定义”不仅令人费解，而且无用.实际 上这都不能叫做数学定义，而只是借助于其他的概念对“面”和“平面”进行直 观描述罢了.原始概念没有定义，但它们所具有的属性隐含在公理之中，即通过公理来确 定、来制约，或者说来间接定义.例如，中学立体几何中，开头给出以下三条公理：公理1如果一直线上
8、的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个 平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公 共直线.公理3经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.就是规定平面属性、制约平面的最基本的公理.严格地说，欧氏平面是满足 欧氏几何公理系统中全部公理的几何图形.2.定义的概念定义是揭示概念的本质属性的逻辑方法.概念有明确的定义才能从本质上把 不同的概念区别开来.通过定义不仅可以明确概念，不断获得新的概念，丰富几何内容，而且从实 质上看，这些定义不过是旧的概念按一定的关系的组合，会使概念和定理的叙述 得以简化.实际上，用公理化方法建立的几何体系所定义的概念，无非是由少
9、数 原始概念遵循公理的要求和一定条件组合而成的新的概念.一个定义是由被定义的概念、定义概念和联结词三个部分组成.被定义概念 也称被定义项，就是要揭示出其本质属性的概念（用以代替旧概念的组合）；定义 概念也称定义项，是用来揭示被定义概念属性的那些已知的旧概念；被定义概念 与定义概念之间用联结词联结起来，几何中常用的有“叫做”称为”“是”等. 一般说来，联结词前面是定义的概念，后面是被定义的概念.下定义的方法有多种，下面举几个常用的方法.属加种差的定义这是一种常用的、古典的定义方法.其公式为种差+邻近的属二被定义概念例如四边形的属种关系有四边形产形$形正方形平行四边形 I菱形一正方形其中符号“_”
10、前面的是属，后面的是种.如四边形与平行四边形、四边 形与平行四边形、四边形与正方形都有属种关系.两个相邻的属种，称为邻近的 属种，如四边形和平行四边形、菱形和正方形.同一个种的本质属性的差别称为 种差.利用属加种差的方法，可对四边形这一类图形给出如下定义：两组对边分别平行（种差）的四边形（邻近的属）称为平行四边形（被定义项）. 一组对边平行、另一组对边不平行（种差）的四边形（领近的属）称为梯形. 有一个直角（种差）的平行四边形（邻近的属）称为矩形.邻边相等的平行四边行称为菱形.邻边相等的矩形称为正方形.有一内角为直角的菱形称为正方形.发生定义用事物发生或形成过程中的情况来下定义的方法.例如:依次连结任意三点不共线的几个点刈、&、凡成线段吗&、屜迪、九-1凡，所构成的图形称为折线.平面上到定点有等距离的点构成的图形叫做圆.外延定义通过指出外延来下定义的方法.例如：点、直线、平面统称原始元素；正整数、负整数、正分数、负分数、 零统称为有理数.关系定义以事物间的关系作为种差的定义方法.例 女口：女口果在 進 与中， 边=贝 I称两个三角形全等；如果一个角与其邻补角相等，则此角称为直角.公理化定义在公理化的结构中，原始概念是没有定义的，描述这些概念属性 的公理的总体，可以认为是这些概念的间接定义如中学几何里的点、直线、平 面等，其属性都是由公理制约，由公理间接定义的.
