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1、4二次曲线的直径一定义：引理： 二次曲线的沿方向X： Y 的所有弦的中点轨迹是一直线：XF1 （x,y ） +YF2 （ x,y ） =0即（ a11 X+ a12Y） x+（ a21 X+ a22Y） y+ a13 X+a23 Y=0（1）事实上，任取沿X： Y 的弦的中点 M 0 （ x 0 ， y 0 ），则该弦所在直线l ：xx 0Xt，弦的端点 M i （ x 0 + t i X ， y0 + ti Y） ，i=1 ，2中 t1 ， t 2 应满足yy0Ytt1 + t2 =0， X F1 （ x 0 ， y 0 ）+YF2 （ x 0 ， y 0 ） =0反之，若 M 0（ x 0
2、 ，y 0 ）的坐标满足上述等式， 任取过 M 0 且沿 X：Y 的弦 M 1M2，M1M 2所在直线 l ： xx 0tX若令 M i （ x 0 + tiX， y 0 + ti Y）， i=1 ， 2，则 t1 + t2=0yy 0tY M 1 M 2 的中点坐标 （ x 0t 1X ）（ x 0 t 2 X ） x 0（ y 0 t1 Y ）（ y 0t 2 Y ） y 022即 M 0 是弦 M 1 M 2 的中点，最后证（ 1）表示一直线，因若不然（ a11 X+a12 Y） X+（ a11 X+ a22 Y） Y=0即 a11 X2+2 a12 XY+a22 Y2=0 这与 X：Y
3、 为非渐近方向不符。定义： 称方程（ 1）所表示的直线为二次曲线F（ x， y） =0 的共轭于方向X：Y 的直径 。注： 1上述定义中的X： Y 即可以为非渐近方向，也可以为渐近方向。当X： Y 为非渐近方向时，直径（1）有明确的几何意义平行于X： Y 的所有弦的中点轨迹；当X： Y为渐近方向时，由于X：Y=- （ a12 X+a22 Y）： (a11 X+a12 Y）直径（ 1）沿渐近方向X：Y2 当二次曲线有中心时，则直径（1）过所有中心，线心曲线仅有一直径。3 渐近线是直径的特例4 中心二次曲线的所有直径形成的以中心为束心的有心直线束；无心二次曲线的所有直径形成平行于渐近方向的平行直线
4、束。事实上，由于直径（1）的方程为X F1 （ x， y）+Y F2 （x,y ） =0当曲线为中心曲线时，二直线F1 （ x,y ） =0 与 F2 （ x,y ） =0 有唯一交点。而对无心曲线，二直线F1 （x,y ） =0 与 F2 （ x,y ） =0 为平行（非重合）直线，且其方向X ：Y=- a12 ： a11是渐近方向。例：求二次曲线x2-2xy+y 2+2x-2y=0的共轭于非渐近方向X：Y 的直径。解：略。二共轭方向与共轭直径：定义 1：对二次曲线F（ x,y ） =0，若二方向X：Y 与X： Y满足X： Y =- （ a12 X+a22 Y）：（ a11 X+ a12 Y
5、）（等价地：X： Y=- （ a12 X + a22 Y）：（ a11 X + a12 Y）2则称 X： Y 与 X： Y是一对共轭方向注： 1共轭于方向X： Y的直径（ 1）是沿 X： Y 的共轭方向的；实方向的共轭方向仍是实的，共轭于实方向的直径（1）也是实的；3 对于中心二次曲线，非渐近方向的共轭方向依然是非渐近方向；对于非中心二次曲线，任意方向的共轭方向均为渐近方向事实上， 1， 2显然，对于3，设 X： Y 的共轭方向为X： Y，则 （ X， Y） =2 a11 （ a12 X+a22 Y） 2 -2 a12 （ a12 X+a22 Y）（ a11 X+a12 Y）+ a22 （ a
6、11 X+a12 Y） 2 =2 I 2（X，Y）定义 2：对中心二次曲线F（x,y ） =0，沿一对共轭方向的二直线称为一对共轭直径 。推论： 斜率为 k， k的一对直径为共轭直径k， k满足a22 kk +a12 （ k+k） a11 =0事实上，设二直径的方向为X： Y 喝 X： Y，则二直径共轭X ： Y =- （ a12 X+a12 Y）：（ a11 X+a12 Y）（ a11 X+a12 Y） X+（ a12 X+a22 Y） Y =0 a11 XX + a12 （ X Y+XY） + a22 YY=0 a22Y Y+ a12（ YY）+ a11 =0X XXX a22 kk + a12 （k+k ） + a11 =0例： 考察椭圆、双曲线共轭直径的分布情况解： 对于椭圆 x 2y 21，其一对共轭直径的斜率k， k应满足a 2b2110b2b 2 kka 2即kk =- a 2 0）逐渐扩大时，其共轭直径的斜率k（ 0）按逆时针方向旋转时，其共轭直径II （k 02a可见一对共轭直径在同在一象限内，且因0k b ，一对共轭直径分aa别在渐近线的两侧，当直径I （k b ）则按顺时针靠近渐近线。a
