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1、-2016高考数学解题方法第1计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻则小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门，讲的是“以小见大. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示*例题将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如以下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，则 . 分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何
2、处破门呢？我们仍然在“点上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意. 解 将等式与右边的顶点三角形对应图右，自然有对此，心算可以得到：n =1，r =0，*=1对一般情况讲，就是* = r+1 这就是此题第1空的答案. 插语 此题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进展解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下两数之和，所以选择任何一个“一头两脚式的小三角形，都能解出*=r+1. 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. 解 在三角形中先找到了数列首项，并将和
3、数列 中的各项依次“以点连线图右实线，实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进展依次列项时，我们总是“取右舍左，而舍去的各项虚线所串所成数列的极限是0. 因此得到 这就是此题第2空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数点都有这个性质. 例如从这个数开场，向左下连线无穷射线，所连各数之和的极限就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是 此题型为填空题，假设改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.
4、 有关解答附录如下. 法1 由知，可用合项的方法，将的和式逐步合项. 法2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式根底上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而法3 2将代入条件式，并变形得取令得，以上诸式两边分别相加，得 说明 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功在使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作*轴的垂线交椭圆的上半局部于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则
5、|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如下图，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1A1PQC1的体积与多面体ABCPB1Q的体积比值为 . 参考解答1找“点椭圆的另一个焦点F2. 连接P1F2 、P2F2 、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由椭圆的对称性可知，此题的答案是70的一半即35.2找“点动点P、Q的极限点. 如下图，令A1P= CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱
6、锥CAA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥CA1B1C1 .显然V棱柱.=于是奇兵天降答案为.点评 “点到成功的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，提醒整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点字，既是名词，又是动词，是“点亮和“亮点的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻来，“西瓜则不是一个“点，而一个球. 因为它能够“滚，所以靠“滚到成功. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 根本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想，划分讨论思想，等价交换
7、思想，特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.典例示*题1 对于R上可导的任意函数f*，假设满足*1f *0，则必有A. f0f22f1分析用五种数学思想进展“滚动，最容易找到感觉应是：分类讨论思想.这点在已条件*-1f(*)0中暗示得极为显目.其一，对f(*)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对*-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，此题破门，首先想到的是划分讨论.解一 i假设f(*) 0时，则f(*)为常数：此时选项B、C符合条件.ii假设f(*)不恒为0时. 则f(*)0时有*1，f*在上为增函数；f(*)0时*1. 即f*在上为减函
8、数. 此时，选项C、D符合条件.综合i，ii，此题的正确答案为C.插语 考场上多见的错误是选D. 忽略了f(*)0的可能. 以为*-1f(*) 0中等号成立的条件只是*-1=0，其实*-1=0与f(*)=0的意义是不同的：前者只涉*的一个值，即*=1，而后是对*的所有可取值，有f(*)0.再析 此题f*是种抽象函数，或者说是满足此题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f0，f1，f2.因此容易使人联想到数学：一般特殊思想.解二 i假设f(*)=0，可设f*=.选项、符合条件.iif(*)0. 可设f(*) =*-12又f(*)=2*-1.满足(*-1) f(*) =2 (*
9、-1)20，而对 f (*)= (*-1)2. 有f0= f2=1，f1=0选项C，D符合条件. 综合i，ii答案为C.插语 在这类f (*)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(*-1)2. 如果在同类中找到了(*-1)4 ，(*-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.再析 此题以函数及导数为载体. 数学思想“函数方程不等式思想. 贯穿始终，如由f *= 0找最值点* =0，由f *00找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.解三 i假设f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (*) = 1符合条件. 右图水
10、平直线ii假设f (0)= f (2) f (1)对应选项C，D右图下拱曲线. 则满足条件(*-1) f *0.探索 此题涉及的抽象函数f (*)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(*-1) f *0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.变题 以下函数f (*)，具有性质(*-1) f *0从而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. f*= (*-1)3 B. f*= (*-1) C. f*= (*-1)D. f*= (*-1)解析 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)
11、=0，不符合要求；对B，f (0)无意义； 对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D.对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f *=(*-1)使得 (*-1) f(*) =(*-1)(*-1) 0.说明 以*=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f*=(*-1) ，其中m，n都是正整数，且nm.点评 解决抽象函数的方法，切忌“一般解决，只须按给定的具体性质“就事论事，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想在解题中具体应用.题2 实数*，y满足等式 ，试求分式的最值。分析“最值涉及函数，“等式连接方程，函数方程思想最
12、易想到.解一 函数方程思想运用令 y = k (*-5) 与方程联立消y，得：根据*的*围应用根的分布得不等式组：解得 即 即所求的最小值为，最大值为.插语 解出，谈何易！十人九错，早就应该“滚开，用别的思想方法试试.解二 数形结合思想运用由得椭圆方程 ，0看成是过椭圆上的点*，y，(5，0)的直线斜率图右.联立得令得，故的最小值为，最大值为.插语 这就是“滚动的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到，还要善于“滚开.点评 “西瓜开门把运动学带进了考场解题. 滚动能克制解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动，在知识上要“滚动，在根本技能技巧上也要“滚
13、动. 总之，面对考题，在看法、想法和方法上要注意“滚动.对应训练1.假设动点P的坐标为(*,y)，且lgy，lg|*|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )2.函数y=1- (-1*0)的反函数是 ( )A.y=-(0*1) B.y= (0*1)C. y=- (-1*0) D. y= (-1*0,a+2b+cac C.b2ac且a0 D.b2ac且a0且y*.选项B中无*0的图像，均应否认；当*=yR+时，lg无意义，否认A,选C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.此题的常规解法是：当*0且y*时，由lgy+lg=2lg|*|，化简可得(*+y)(2*-y)=0.y=-*或y=2*(*0,y0).2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1*0，其反函数值域为-1y0，排除B、D.原函数
