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1、林丽美 三个两两可交换的三次幂等矩阵的线性组合的秩等式的充分条件莆 田 学 院毕 业 论 文（设 计）题 目关于体上二次矩阵的定义及性质的探讨 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学（师范）班 级 数学061 指导教师 二0一0年四月二十六日朱艺端 关于体上个二次矩阵的性质的探讨 目 录0 符号说明及引言（1）1 预备知识 （2）2 主要结果 （4）2.1体上二次矩阵的定义 （4）2.2体上二次矩阵的可对角化性质 （5）2.3体上矩阵的秩等式及二次矩阵的充分条件 （7）结束语 （10）致谢 （11）参考文献 （11）关于体上二次矩阵的性质的探讨（莆田学院数学系 指导教师：杨忠鹏）摘要：本文在
2、给出体上二次矩阵的定义的基础上，讨论了体上二次矩阵的相关性质，包括体上二次矩阵与体上幂等矩阵的关系，体上二次矩阵的可相似对角化的充分条件，体上二次矩阵的秩等式，及体上二次矩阵的充分条件。本文主要应用现有的体上矩阵的基本理论及研究方法。关键词：体 二次矩阵 初等变换 幂等矩阵 秩Abstract:On the basis of giving the definition of quadratic matric on arbitrary division ring, this paper discusses the related properties of quadratic matric on
3、 arbitrary division ring,including the relationship betwin the quadratic matric on arbitrary division ring and the idempotent matric on arbitrary division ring, Keywords:division ring quadratic matric Elementary transformation idempotent matric rank0 符号说明及引言设为任意体（除环），表示体上矩阵的集合，为体上阶单位阵，为体上矩阵的秩, 表示体的中
4、心，为实数域，为体上所有阶幂等矩阵的集合。早在20世纪60年代初，著名数学家华罗庚、万哲先院士在其专著典型群序中就明确指出：“体上的矩阵是一个值得注意的对象，因为它是一个不太失去普遍性的抽象事物，但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远。”他们在典型群及矩阵几何方向上取得了举世瞩目的成就。体与域的本质距离在于其上的元素是否一定满足乘法交换律，而这种距离使得体上矩阵的研究困难重重，但又使得体上矩阵理论自成一体，非常丰富。在中国，体上矩阵的研究中，较早的文献有文2,谢邦杰教授所著的抽象代数学，较系统的文献有文3庄瓦金教授所著的体上矩阵理论导引。文1给出了体上矩阵的一些基本定义及定理，为体上矩阵
5、理论的研究及一类重要的四元素矩阵的研究打下了坚实的基础。文2在关于体上的若干准备后，阐述了体上矩阵的三大基本关系：相抵、相似、合同，且进一步研究了四元素矩阵的相关性质。文2几乎囊括了现有的体上矩阵的基本理论，而关于体上一类特殊矩阵的研究，体上的幂等矩阵的性质的研究等，这类文献也有很多。文1主要定义了复数域上的二次矩阵，即矩阵，若它满足，其中,I为n阶单位阵，我们说矩阵为二次矩阵。并在此基础上讨论了二次矩阵的相关性质。值得注意的是二次矩阵具有高度的概括性，当系数取不同的值时，它包括了幂等矩阵、幂零矩阵等多种情形。例如：幂等矩阵 幂零矩阵 在域上二次矩阵与幂等矩阵有着紧密的联系已知，满足， 当且仅
6、当存在一个幂等矩阵Z使得，显然为幂等矩阵。这些都说明了域上二次矩阵的相关性质的研究的重要性。而在体上这仍是一块空白，填补这块空白无疑是相当有意义的，但须小心谨慎的把二次矩阵推广到体上，给出较为合理的定义，并在此基础上继续研究其性质。文4、文5、文6为体上矩阵的秩的研究包括幂等矩阵的秩，这些研究成果及讨论的思想方法都有利于本文的探讨。结合文2、文3的基本结论给出体上二次矩阵的定义并研究体上的二次矩阵的相关性质。1预备知识 下面先给出本文要用到的一些预备知识。引理1（见文2）矩阵的行秩数、列秩数均等于其秩数。故初等变换不变矩阵的秩数。 在文2中给出了体上的两种初等变换，有消法矩阵和倍法矩阵分别为：
7、在文3中海、还定义了一种初等变换叫互换矩阵引理2（见文4） 设且则存在可逆矩阵，使得 引理3（见文5） 设，则有 2主要结果 在这里首先给出体上二次矩阵的定义，再在此基础上给出体上二次矩阵的相关性质及判别办法。2.1、体上二次矩阵的定义定义：若，且存在，使得，则称为体上的二次矩阵。注：对于这里要做一些说明，因为体上的元素未必满足乘法交换律，取不仅使得体上二次矩阵的讨论能够顺利进行，而且会有一些相当整齐的结果，这些将会在后面的结果及相关例题中得到体现。首先，体上的二次矩阵也具有高度的概括性，包含了幂等矩阵、幂零矩阵等多种情形。例如：幂等矩阵 幂零矩阵 其次体上的二次矩阵与体上的幂等矩阵有着密切的
8、联系，如下：定理1.1 若，且存在，使得，其中，当且仅当存在一个幂等矩阵，使得 显然有 是幂等。证明：充分性 由满足，令则有 代入（1）式得 由上式可化为即 由及除环的消去率有故为除环上的幂等矩阵，到此证得充分性。必要性 已知一个幂等矩阵 令 其中且则矩阵的表达式由幂等矩阵的定义可得整理可得 证毕。说明：上述定理若舍去条件则未必成立，例子如下：假设为实四元数体，则有矩阵满足。但是2.2、体上二次矩阵的可对角化性质定理2.2 设为二次矩阵，即存在且，使得则存在可逆矩阵使得其中为此二次矩阵所确定的幂等矩阵的秩。证明：令 ，由定理1.1 知道为幂等矩阵,假设则引理2知道 存在可逆矩阵使得则有证毕说明
9、：上述定理若舍去条件则未必成立，例子如下： 假设为实四元数除环，取，则且为幂等矩阵令,则有而 显然，所以结论不成立。2.3、体上矩阵的秩等式及二次矩阵的充分条件 首先给出如下的秩等式的定理定理2.3.1 设，为阶单位阵，任意 且，则有证明：对矩阵做分块初等变换由引理1 初等变换不改变矩阵的秩，可得证毕。推论2.3.2 对任意的矩阵，若存在且，使得则有矩阵为体上的二次矩阵。证明：由定理2.3知道，当时有 又 所以有，故矩阵为体上的二次矩阵。证毕。定理2.3.3设为二次矩阵，即存在，使得，则有如下结果： 当， 也为体上的二次矩阵 当时，从而证明： 由由定理2.2，存在存在可逆矩阵使得故由为二次矩阵
10、，存在，使得 又，故有所以也为体上的二次矩阵。 对矩阵做分块初等变换由引理1 初等变换不改变矩阵的秩，可得而当时，由结论有，从而有证毕。 推论2.3.4 设为二次矩阵，即存在且，使得，,有如下结果： 当，有 当，有 证明： 由定理2.3.3结论知，当，有再由引理3的公式（2）即得。 同理可证。证毕。结束语 本论文是在认真研读文献基础上展开讨论的，通过研读文献2、文献3，掌握体上矩阵的基本理论及一些研究方法。同时认真研读文献1，了解域上二次矩阵的定义及相关结论，特别是与其他矩阵的联系，如幂等矩阵等。并查阅大量文献，有体上的矩阵的秩等式问题等等。在此基础上，小心谨慎地提出体上二次矩阵的定义，填补了
11、体上二次矩阵的空白。并讨论了体上二次矩阵与体上幂等矩阵的关系，体上二次矩阵的对角性质，提出了体上二次矩阵的充分条件，还讨论了体上二次矩阵的秩等式问题。体上的二次矩阵是一个全新的研究领域，还有很大的研究空间。致谢本文是在指导教师杨忠鹏教授的悉心指导及鼓励下完成的。杨教授严谨细致、一丝不苟的作风深深影响了我，是我今后学习和工作的榜样，老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，开拓我的思路，使我的论文最终得以完成。在此，谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！在此还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友，特别是这次一起写论文的同组同学们。写作毕业论文是一次再
12、系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始！参考文献 1Marek Aleksiejczyk,Alicja Smoktunowicz.ON PROPERTIES OF QUADRATIC MATRICESJ.Mathenatica Pannonica11/2(2000),239-248.2谢邦杰.抽象代数学M.上海科学技术出版社.1982.3庄瓦金.体上矩阵理论导引M.科学出版社.2006.4N Jacobson.Lectures in Abstract AlgebraM.Springer-Verlag New York,1953:12-86.5Xiaoxia Feng,Zhongpeng Yang.The rank identities and its applications about the product and sum of three matices on arbitrary division ringJ.ACADEMIC(2006).6刘玉，曹重光.关于除环上矩阵制的几个等式M.安徽大学学报（2007）.1
