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1、第2节向量的分解与向量的坐标运算最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(
2、1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.微点提醒1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，则x1x2且y1y2.2.若a与b不共线，ab0，则0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，
3、它们的坐标都是相同的.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b(0，0)，则无意义.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P99B1改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e
4、2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B3.(必修4P103B3改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A.(2，2) B.(3，1)C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1)解析由题意得且(3，3).设P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)，x2，y2，则点P(2，2).答案A4.(2015全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D
5、.(1，4)解析根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.答案A5.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.解析ab，260，解得3.答案36.(2019赤峰二中模拟)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案(1，5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019阜新实验中学月考)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若2，3，(，R)，则()A. B.1 C. D.3(2)(2019长
6、春调研)在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且.延长AD交BC于E，若，则的值是_.解析(1)()()2()3.因为E，M，F三点共线，所以2()(3)1，即251，.(2)设x，.由于E，B，C三点共线，1，x.根据平面向量基本定理，得，.因此.答案(1)A(2)规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2019济南质检)在ABC中，若P是直线BN上的一点，且满足m，则实数m的值为(
7、)A.4 B.1 C.1 D.4(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则_.解析(1)根据题意设n(nR)，则nn()n(1n).又m，解得(2)因为，所以()，所以，所以.答案(1)B(2)考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则等于()A.2 B.2 C.3 D.3(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)由题意得(1，2)，(1，4)，(0，2)，所以(0，6)3(0，2)3.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(
8、设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，cab，(1，3)(1，1)(6，2)，则解得2，4.答案(1)C(2)D规律方法1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)(2019广东联考)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_.(2)如图，在直角梯形AB
9、CD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E为AD的中点，若(，R)，则的值为()A. B.C.2 D.解析(1)由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2).则解得所以向量的坐标是(4，7).(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB1，则CDAD2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2，2)，(2，1)，(1，2)，(2，2)(2，1)(1，2)，解得则.答案(1)(4，7)(2)B考点三平面向量共线的坐标表示多维探究角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例31】 (一题多解)已知点A(4，0)，B(
10、4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.解析法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4).又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3).答案(3，3)角度2利用向量共线求参数【例32】 (1)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.(2)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a3b
11、共线，则_.解析(1)由题意得2ab(4，2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以420，即.(2)由，所以a与b不共线，又a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0.那么当manb与a3b共线时，有，即得.答案(1)(2)规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2019北师大附中检测)已知向量a(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y2
12、x上的一个动点，若a，则点B的坐标为_.(2)设向量(1，2)，(2m，1)，(2n，0)，m，nR，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则mn的最大值为()A.3 B.2 C.2 D.3解析(1)由题意设B(x，2x)，则(x3，2x)，a，x32x0，解得x3，B(3，6).(2)由题意易知，其中(2m1，1)，(2n1，2)，所以(2m1)21(2n1)，得：2m12n1.2m12n2，所以2mn122，即mn3.答案(1)(3，6)(2)A思维升华1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.易错防范1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10.2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.向量a，b满足ab(1，5)，ab(5，3)，则b为()A.(3，4) B.(3，4)C.(3，4) D.(3，4)解析由ab(1，5)，ab(5，3)，得2b(1，5)(5，3)(6，8)，b(6，8)(3，4).答案A
