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1、数学广角-植树问题教材分析主备人：张高英和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透了一些重要的数学思想方法。本册的“数学广角植树问题”包含三个例题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比
2、如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。教材在编排上，注重引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发
3、现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。下面就教材中安排的三个典型例题进行分析。一、经历解决问题的过程教材第106页例1通过学生熟悉的植树情境，引导学生借助线段图，经历猜想、实验、抽象等数学活动过程，探索间隔与点之间的数量关系，建立植树问题的数学模型，再运用模型解决实际问题。让学生经历分析、思考、解决问题的全过程。教材用几个小朋友的对话和图片来呈现学生探索解决问题的过程。首先由一个男孩说出学生们可能会想到的答案：“1005=20（棵）”，接着一个女孩问：“对吗？检验一下”，来引发学生思考。接下来由小精灵提出了解决问题的常用方法从简单的情况入
4、手解决复杂的问题。这里先呈现直观的图示法，让学生看到把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树。使学生发现植树时确定树苗数量的问题并不能简单地用除法来解决。紧接着一个小男孩提出“25 m可以栽几棵？”这次用画线段图的方式解决问题，不仅在研究方法上从直观转为抽象，更是向学生渗透归纳思想一个特例不足以说明问题，多个不同的事物才能揭示规律。然后向学生提问：“你发现了什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多1。同时教材进一步提出“不画图，你知道30 m、35 m要栽几棵树吗？”让学生利用发现的规律先解决简单的问题。最后教材要求应用发现的规律来解决前面
5、的植树问题：100 m长的小路共有20个间隔，两端都要栽，所以一共要栽21棵树。这样就把分析、思考、解决问题的整个全过程展示出来，让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。即遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来检验，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。对于例2（两端不栽的情况）以及第107页“做一做”第2题（一端栽一端不栽的情况），由于学生前面有了探索的经验，这里可以放手让学生去探索，用自己的方法去发现这两种情况的植树问题中隐含的规律。二、体会基本的数学思想本单元通过一些生活中的事例，让学生根据不同的情况总结出
6、规律，并利用这些规律解决问题。但是，本单元的教学最终目的并不只是让学生明白规律，而是要引领学生进一步探究规律的产生原因，帮助其建立“一一对应”的思维方式，形成解决问题的策略，从而体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例1是探讨关于一条线段、并且两端都要栽的植树问题，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系。通过这两幅图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，结果
7、发现还多出一个“点”（树），所以“栽树棵数=间隔数+1”。例2通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第2题让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图。例3则让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。整个单元教材通过线段图的教学，突出“一一对应”的思想，并以此为基础分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”。无论哪种情形，都能用“一一对应”的思想统领。教材通过选取生活中不同的事例，让学生体会一种在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法化归思想，使学生感悟到应用数学模型解决问题所带来的便利。同时培养学生在解
8、决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。在练习中，教材以“植树问题”为背景帮助学生清楚地认识到路灯问题、敲钟问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。三、感受转化的研究方法，积累基本的活动经验教材第108页例3讨论的是在封闭图形周围栽树的情形。学生学习了例1、例2后，掌握了直线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，栽的棵数与间隔数的关系）。教材这样的编排意图很显然是要用植树问题的思考方法来解决封闭图形中的植树问题。面对封闭图形中的植树问题，教材首先提示研究方法：“先画图试试看。假设周长是4
9、0 m”，引导学生根据前面例1、例2的研究经验直观作图、化繁为简来尝试解决问题。当学生直观看出能栽4棵后，教材并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是请小精灵进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处。让学生通过观察、思考发现，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下来，教材通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了例3与前面的例1、例2间的联系。本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，使学生既学会一些
10、解决问题的一般方法与策略，又积累基本的数学活动经验。例如，例1通过“对吗？检验一下”“100 m太长了，可以先用简单的数试试”“你发现了什么规律”等，渗透了“猜测探索归纳应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法。重难点突破一、建构数学模型，探寻规律突破建议：本单元是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法，同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。教师教学时，应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
11、二、初步体会植树问题的数学思想方法突破建议：“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。本单元并非让学生记熟规律、熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想和方法的一个学习支点。在教学中教师不妨让学生先猜测，再动手操作、实践验证。怎样检验这个结果是否正确？初步向学生渗透用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，即化繁为简的思想。例1教学中，假设路长只有20米，要栽几棵树呢？提示学生用画线段图或者示意图的方式来辅助思考，从中渗透“数形结合”的思想。这样学生就很容易地发现直接用除法205=4算出的结果和通过直观图看出的5棵树有冲突，引发学生的思考
12、。还要结合教材中“对吗？检验一下”“可以画线段图来验证”等线索，向学生渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生对数学的兴趣。三、应用画图策略，有效地解决生活中的植树问题突破建议：在日常教学中，在指导学生学习数学的过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，教师在教学中要重视画线段图的方法，并通过多媒体直观演示辅助教学，突出“一一对应”思想，把间隔点数和栽树的棵数对应起来。之后让学生再用“25 m”或者自己列举的数据进一步探究，教师可以出示统计表，学生将研究结果记录下来，利用统计表发现栽树的棵数和间隔数之间的规律。四、用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题突破建
13、议：植树问题的模型是现实世界中一类相近问题的拓展，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，在教学中把植树问题推广到与植树问题相近的一些问题中，以图片、文字等形式让学生了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会现实生活中的许多不同事件（如队列问题、公交站问题、敲钟问题等），这些问题都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，使学生感悟到数学建模的重要意义。从而引导学生灵活运用所学知识解决生活中的一些实际问题，体验生活中的数学，充分感受到数学知识来源于生活，又回归于生活。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式，提高问题的
14、难度，造成教学要求过高。第一课时：在一条线段上植树（两端都栽）教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第106页例1及相关内容。教学目标：1建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。2利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。教学准备：课件。教学过程：一、情境出示，设疑激趣教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3月12日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题
15、。（课件出示问题）例1：同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？教师：你能利用所学的知识解决问题吗？预设1：20棵。（教师追问：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽1005=20（棵）。预设2：我认为是21棵，因为题目中写着“两端要栽”，所以要再加1棵。教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）【设计意图】直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，既是对教学起点的了解，又利用两种不同的结果设置疑问，激发了学生探求新知的热情。二、经历过程，感受方法教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。遇到了什么困难？预设：100
16、 m太长了，不太好画。（追问：那我们可以怎么办？）学生：可以先用简单的数试一试。（课件出示）【设计意图】使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测验证”的学习方法。在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。三、探索实践，建立模型教师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。实物投影或课件出示：教师：说说你是怎么想的？预设：205=4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？预设：255=5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。还可以这样画：这里
