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1、3.4基本不等式 【教学目标】1.组织学生观察背景图形，抽象出重要不等式（这个不等式的几何解释），学生能使用实数性质法证明这个不等式，帮组学生从“几何”、“代数”两个角度理解重要不等式，体会数形结合的思想；2.引导学生通过代数式类比方式得到基本不等式；结合课本p98页的填空，帮组学生体会分析法证明命题的基本思路（平面几何证明中的追根溯源的分析方法）；结合课本的探究要求，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；3借助例1帮组学生尝试使用基本不等式解决简单的最值问题，体会基本不等式这种数学模型的工具性作用，提升解决问题的水平；4.渗透数形结合的思想，体会数学知识源于生活，用于生
2、活的实际，激发学习兴趣，培养创新精神和严谨的推理论证水平。【教学重点】应用数形结合的思想理解基本不等式，准确使用基本不等式解决最值问题，从不同角度探索不等式的证明过程。【教学难点】在几何背景下抽象出重要不等式，理解基本不等式；能利用基本不等式解决最值问题。【学习过程】（一）创设情景如图是在2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。赏析：勾股定理是人类最伟大的科学发现之一。两千多年以来，上至帝王，下至百姓对这个定理的证明都颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际。三国时期吴国的数学家赵爽使
3、用几何图形的截、割、拼、补，创制了一副“弦图”，证明了勾股定理，证明可谓别具匠心，极富创新意识，后人称其为“赵爽弦图”（它是由八个全等的直角三角形拼接而成）。他以独特风格为中国古代以形证数、数形统一树立了优秀的典范。（二）学习新知今天我们来研究这个图形中是否蕴含着经典的不等式结论？问题1.如图,正方形ABCD的面积和阴影部分面积存有怎样的关系？问题2.假设设AE=a,BE=b,根据上述关系你能得出怎样的代数结论？结论1:结论2：（代数结论）反应了a,b这两个字母取任何值时有代数式a2+b2的值大于或等于代数式2ab的值.问题3：这两个代数式的值何时相等？也就是上式取等号的条件？结论3：当且仅当
4、a=b的时, a2+b2=2ab，也就是中“等号”成立.重要不等式: a2+b22ab(a,b,当且仅当a=b时取“=”)文字表达：两数的平方和不小于它们积的2倍.问题4：以上探究过程是对重要不等式的“几何论证”，你能给出它的代数证明吗？ 法一（实数的性质法）(a-b)20,a2+b2-2ab0 a2+b22ab, 当且仅当a=b时取“=”法二（做差法）（a2+b2）-2ab=(a-b)2 当ab时，(a-b)20 当ab时，(a-b)20 所以(a-b)20，即a2+b22ab, 当且仅当a=b时取“=”（完成数与形的高度统一，体会数形结合思想）探究：重要不等式中，当也可写成，当a=b时，等
5、号成立。基本不等式(均值不等式): (当且仅当a=b时取“=”)（板书题目）在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.文字表达：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。所以也称为均值不等式（学生看书P98页完成书上的填空内容，这是一个证明的分析思路）问题5：你能否按照以前平面几何证明中经常使用的追根溯源的分析方法，给出上述结论的证明？证明：,当且仅当a=b时等号成立 当且仅当a=b时等号成立注意：假设把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么基本不等式能够表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。问题6：你能用以下图得出基本不等式的几何解释吗?O如图, AB是
6、一条线段，动点C是AB上一点, AC=a, BC=b.以AB为直径画圆， O为圆心，过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.如何用a, b表示OD? OD=_如何用a, b表示CD? CD=_所以：基本不等式几何意义是“半径 不小于 半弦”，点C与原点重合时，半径与半弦相等；问题7：基本不等式还有其他的几何解释吗?（课后探究）基本不等式几何意义是“直角三角形斜边的中线 不小于 斜边的高”，三角形为等腰直角三角形时，斜边的中线和斜边的高相等。知识使用例1：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？ 最短的篱笆是多少？分析：设定未知量，联系已知和未
7、知的关系，建立数学模型，注意模型使用的条件。解：设菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为,因为x0,y0,由，可得 ，即当且仅当x=y时等号成立.由解得x=y=10.满足条件所以，这个矩形的长，宽都为10时所用篱笆最短，最短篱笆是40例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？（学生练习后比照书p99页的解答过程）感悟：两题的共同点都是利用基本不等式“数学模型”解决最值问题，满足的条件有三个：“一正、二定、三相等”练习1： ，当取什么值，函数的值最小？最小值是多少？变式：，求函数的最小值分析：利用基本不等式的数学模型不能解决最值问题，能够利
8、用函数单调性来解决。再一次强调使用基本不等式“数学模型”解决最值问题的条件有三个：“一正、二定、三相等”练习2.用20厘米长的铁丝折成一个面积最大的矩形，理应怎样折？分析：基本不等式的变形使用小结本节课研究了两个不等式，重要不等式，基本不等式，研究的角度都是从“几何解释”和“代数论证”两个方面。利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件。布置作业A.研读课文、整理笔记B.课后练习P100 14C.在基本不等式的推导过程中，数与形的结合开拓了我们的研究思路，你能结合基本不等式的学习谈谈对数形结合的思想的理解吗？板书设计基本不等式重要不等式 结论：求最值满足条件“一正、二定、三相等” 练习：例1a2b22ab 当且仅当时等号成立基本不等式若a0，b0，则 当且仅当时等号成立 例2证明：
