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1、不等式知识点及其解题技巧1、不等式的性质 ：（ 1） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 a b,c d ，则 a c b d （若 a b,c d ，则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等 式不可以相减； （2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除； 异向不等式可以相除 ，但不能相乘：若 a b 0,c d 0 ，则 ac bd （若 a b 0,0 c d ，则a b n n ）；（ 3 ）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ：若 a b 0 ，则 a b 或 cd1 11 1ab ；（ 4）若 ab 0 ， a b ，则；若 ab 0 ， a
2、b ，则 。 如（ 1 ）a ba b对于实数 a, b,c中，给出下列命题： 若a b,则ac2 bc2； 若ac2 bc2,则a b； 1 1b a 若ab0,则a2abb2 ；若ab0,则； 若a b0, 则；a ba ba b 1 1 若a b 0,则 a b ； 若c a b 0,则； 若 a b, ，则c a c b a b a 0,b 0 。其中正确的命题是 （答：） ；（2）已知 1 x y 1 ，1 x y 3，则3x y的取值范围是 （答： 1 3x y 7 ）；（3）已知a b c ，且 a b c 0, 则 c 的取值范围是 （答： 2, 1 ）a21 t 1log a
3、 t和 log a的大小（答：当222. 不等式大小比较的常用方法 ：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果； （ 2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ；（3）分析法；（4）平方法；（5） 分子（或分母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。 其 中比较 法（作 差、作商 ）是最 基本的 方法。 如 （ 1） 设 a 0且a 1,t 0 ， 比较a 1 时， 1log a t loga t 1（ t 1 时取等号）；当220 a 1时， 1logat logat 1（t 1时取等号） ）；（2）设a 2， p a 12 2
4、a 2a2 4a 2q 2 a 4a 2 ， 试 比 较 p,q 的 大 小 （ 答 ： p q ）；（ 3 ） 比 较 1+ logx 3 与 42log x 2（x 0且x 1）的大小（答：当 0 x 1或x 3 时，1+ logx3 2logx2；当 3441 x 3时， 1+ log x 3 2log x 2 ；当x 3时， 1+ log x 3 2logx 2 ）3. 利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到： “ 一正二定三相等，和定积最大，yB、D、积定和最小 ”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、y x 1 的最小值是 2 xC、 y 2 3x 4（x 0） 的最大
5、值是 2 4 3 xy 2 3x 4 （x 0） 的最小值是 2 4 3 （答： C）；（2）若 x 2y 1，则 2x 4y 的最 x小值是（答：2 2 ）；（3）正数x, y满足 x 2y 1，则1 1的最小值为 （答：xy3 2 2 ）；4. 常用不等式 有：（ 1）a22b2a2b ab 12 1ab（根据目标不等式左右的运算结构选用 ） ；（2）a、b、c R， a2 b2 c2 ab bc ca （当且仅当 a b c时，取等b b m号）；（3）若 a b 0,m 0 ，则 b b m （糖水的浓度问题） 。如如果正数 a、 b满足 a a mab a b 3，则 ab 的取值范
6、围是 （答： 9, ）5、证明不等式的方法 ：比较法、 分析法、 综合法和放缩法 （比较法的步骤是： 作差（商） 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。 ）.常用的放缩技巧有：1 1 1 1 1 1 1 2n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n111k 1 k 2 k k 1 k222 2 2 2如(1)已知ab c，求证： a2bb2cc2aab2bc2ca2；(2) 已知a,b,c R，求证： a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) ；(3)已知 a,b, x, y R ，且1 1 x y,x y ， 求证： x y ；(4
7、) 若 a、b、c 是不 全相等 的正数 ，求证 ： a b x a y b(n 1)2 1 (n 1) n2 1 n ；(7)a b b c c a 2 2 2 2 lg lg lg lg a lgb lg c；(5)已知 a,b,c R ，求证： a2b2 b2c2 222c2a2 abc(a b c) ；(6) 若 n N ，求证：已知 |a| |b|，求证： |a| |b| |a| |b|；（8）求证：1 12 1212 2 。|a b| |a b| 2 3 n6. 简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的 积， 并使每一个因式中最高次项的系数为正
8、；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现 f （x） 的 符号变化规律， 写出不等式的解集。 如（1）解不等式 （x 1）（x 2）2 0。（答：x|x 1或 x 2 ）；（2）不等式 （x 2） x2 2x 3 0的解集是 （答： x | x 3或x 1 ）；（3）设函数 f（x）、g（x）的定义域都是 R，且 f（x） 0的解集为 x|1 x 2 ，g（x） 0 的解集为 ，则不等式 f（x） g（x） 0 的解集为 （答： （ ,1） 2, ） ）；（ 4）要使满足关于 x 的不等式 2x2 9x a 0 （
9、解集非空）的每一个 x 的值至少满足不等式x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个，则实数 a的取值范围是 .（答：7, ）87. 分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不 等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（ 1） 解不等式5x2x 2x 31（答：（ 1,1） （2,3） ）；（2）关于 x的不等式ax b 0的解集为 （1, ） ，则关于 x 的不等式ax bx20 的解集为答： ( , 1) (2, ) )8. 绝对值不等式的解法 ：（1
10、）分段讨论法（ 最后结果应取各段的并集 ）：如 解不等式31|2 x| 2 |x | （答： x R ）；（ 2）利用绝对值的定义； （ 3）数形结合； 如解不等式|x| |x 1| 3（答：（ , 1） （2,）（4）两边平方：如若不等式 |3x 2| |2x a|对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围为 。（答： 4 ）39、含参不等式的解法 ：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论 是关键”注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是” 。注意 ：按参数讨论，最后 应按参数取值分别说明其解集； 但若按未知数讨论， 最后应求并集 . 如（1）若 loga 2 1，3则
11、 a 的取值范围是答：a 1或0 a 2 ）；（2）解不等式32axx(a R)ax 111（答： a 0时，x|x 0；a 0时，x|x或x 0 ；a 0时，x| x 0或aax 0 ）提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如关于 x 的不等式x2ax b 0 的解集为 （ ,1） ，则不等式 0 的解集为 （答：（ 1,2）ax b11. 含绝对值不等式的性质 ：a、 b同号或有 0|a b| |a| |b| |a| |b| | a b|；a、 b异号或有 0|a b| |a| |b|
12、 |a| |b| |a b|.如设 f（x） x2 x 13，实数 a满足|x a| 1，求证： |f（x） f（a）| 2（|a| 1）12.不等式的恒成立 ,能成立 ,恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常 应用函数方程思想和 “分离变量法” 转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利 用数形结合法）1）. 恒成立问题D 上 f x min A若不等式 f x A在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间若不等式 f x B在区间 D上恒成立 ,则等价于在区间 D 上 f x max B如（ 1）设实数 x,y满足 x2 （y 1）2 1，当 x y c 0时， c的取值
13、范围是 （答： 2 1,）；（2）不等式 x 4 x 3 a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 （答： a 1）；（3）若不等式 2x 1 m（x2 1） 对满足 m 2的所有 m都成立，则 x的取值范围 （答：（ 7 1, 3 1 ）；（ 4）若不等式 （ 1）n a 2 （ 1）2 2 n 对于任意正整数 n恒成立，则实数 a的取值范围是 （答： 2,23） ）；（5）若不等式21 x2 2mx 2m 1 0 对0 x 1的所有实数 x都成立，求 m的取值范围 （. 答：m）22）. 能成立问题若在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x A成立,则等价于在区间 D 上 f x max A； 若在区间D 上存在实数 x使不等式 f x B成立, 则等价于在区间 D 上的f x min B .如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 （答： a 1 ）3）. 恰成立问题若不等式若不等式f x A 在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式 f x A的解集为 D ； f x B 在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式 f x B 的解集为 D .
