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1、第四章向量组的线性相关性本章不仅要讨论向量组的有关理论，建立向量组秩的概念，还要沟通矩阵的秩与向量组的秩之间 的关系，并抽象出向量空间的概念，最后以此为背景完整的处理线性方程组的解的结构理论。本章中线性相关性是一个较难理解和掌握的概念，学习中应注意其在二、三维向量的几何解释。 1 n维向量在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概念，即用二、三元数组描述了一系列物理现象，如力所 作的功，刚体旋转运动中的线速度问题等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二三维空间就不够 了。如研究卫星在太空中的运行状态时，不仅要关注它的几何位置，还需知道它的表面温度、压力等 物理参数，即至少要用六数组。,x, j, z
2、, Tp)。因此有必要拓广向量的概念，引入由元数组构成的n 维向量，并抽象出向量空间的概念。定义1 n个有次序的数a1, a2,a所组成的数组成为n维向量，这n个数称为该向量的n个分 量，第i个数a.称为第i个分量.注 分量全为实数的向量称为实向量。分量不全为实数的向量称为复向量。我们只研究实向量。n维向量分为行向量和列向量两大类，前面也说过这两类分别就是行矩阵和列矩阵，因此它 们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质。在本章中，向量之间的运算只涉 及到线性运算和转置运算。为叙述方便，我们约定：在不特别声明时我们说到的向量均为列向量。向量。例如，e1 = (1,0,.,0)T
3、，e1 =(0,1,0,.,0)t，e1 = (0,.,0,1)T统称为 n 维单位向量。 同于分块阵中所述，我们仍用小写黑体字母a,b,a, P等表示列向量，用r, bT, a,0表示行即有大小又有方向的量，并且平面 当n = 2时的二维向量就是平面解析几何中的向量 解析几何中是以可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象 即大小相等、方向一致的向量认为是同一个向量，如右图中亨2= OP .引入一平面坐标系：P(x, j), P (x , J ), P (x , j )，因为JL JL 4444对应，称之为向量Op的坐标，即OP = (x, J)r，这X = X2 - X1, J = J2
4、- J1，这种自由向量OP与平面上的点P (x, j)构成 种二维向量的全体构成的集合R2 = r = (x, j)T | x, j gR 称为二维向量空间。完全类似地，可将二维向量推广到三维空间中去。当n = 3时，由于空间中可随意平行移动的有 向线段OP与空间中的点P (x, j, z)构成 对应，故我们也称点P的坐标(x, j, z)为向量OP坐标，即OP = (x, j, z) T，这种三维向量的全体构成的集合R3 = r = (x, j, z)T | x, j, z gR 称为三维向量空 间。由于三维向量r = (x, j, z) T与空间中的点P(x, j,z)是一一对应的，三维向
5、量的集合常常就类比 成点的集合，例如我们知道ax+bj+cz = d在空间中表示一个平面，故我们也称三维向量的集合兀= r = (x, j, z)T | ax+bj+cz = d 为三维向量空间R3中的平面。当n 3时，虽然n维向量就不再具有这种几何形象了，但我们仍沿用这些说法和记号，全体n 维向量构成的集合Rn = r = (x ,x ,，x )t | x ,x，x gR 12 n12 n称为n维向量空间，n维向量的集合兀= r = ( x , x ,，x ) t | a x + a x hn a x = b 12 n 1 12 2n n称为n维向量空间Rn中的n-1维超平面。2向量组的线性
6、相关性一、线性表示1、线，性表示我们称由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组。例如，mxn矩阵A的m个n维行向量可构成一个行向量组一一矩阵A的行向量组吁竺,， . St ).反过来，任给一组n维仃向量，都可以构成一得矩阵A = .，因此匕们构成一一对应；、aT , m类似地，mxn矩阵A的n个m维列向量构成的列向量组a1，a2，am也与A构成一一对应，故我们 也用大写字母表示向量组为A： a1，a2,-,am.比如，n阶单位阵E对应的列向量组就是n维单位 向量组 E： e”e2, ,en .在讲分块阵2时曾建立了线性方程组A x = b用其系数阵A的列向量组来表达的等价形式mxn向
7、量个数=未知量个数x1 a1+x2a2+ . + x a = b，=现在要改用向量的语言来描述这个表达式，定义如下定义1给定向量组A： a1，a2,-,am，斗、,km是任意一组实数，我们称向量 k1 a*k2a2+ k a是向量组A的一个线性组合，k,k2,/称为组合系数。给定向量组A： a1,a2,am，和向量b，若存在一组实数k1, k2,km，使得b = k a* k2a2+ + k a ，即b是向量组A的一个线性组合，我们称向量b可由向量组A线性表示(或线性表出)a = a1e1在几何角度看线性表示，即在二维向量空间中注 任一个n维向量a = (a1, a2,a都可由n维单位向量组e
8、” e2, , en线性表示:来看线性组合：若b = k1 a+ k2a2， (k1 k产0)则b在a1与a2张成的平面上。非零组合1 实际上，用方程组的语言来描述向量之间的线性表示就是向量b可由向量组A线性表示 = 方程组x1 a1+ x2a2+ . + xna = b有解=Amxnx = b 有解0R (A)= R (B).即有结论定理1 向量b可由向量组A： a ,a ,.,a 线性表示 。 矩阵A = (a ,a ,.,a )的秩等于矩 1，2，m1，2，m沟通了向量组线性表示、矩阵的秩、方程组有解三者之间的关系阵b=(气,a2,am,b)的秩。2、两个向量组的等价定义3设有两个n维向
9、量组A： a ,a ,-,a，b： b ,b，,b，若向量组B中每个向量都可 12 m12 s由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示；若向量组A与向量组B可以互相线性 表示，则称这两个向量组等价。注显然向量组的等价也是等价关系，即向量组的等价具有：自反性、对称性、传递性. 若向量组A可由向量组B线性表示，则A中的每一个向量都可以用B中的向量线性表示，用方程组的语言说就是：方程组Ax = O中的每一个方程都可以用方程组Bx = O中的方程线性组合得到，所以Bx = O的解都是Ax = O的解；若向量组A与B等价，则反之也成立。所以向量组A与B等价 =Ax = O与Bx = O是同解
10、方程组。那么若向量组B可由组A线性表示，则对组B的任意向量b .，有b J = k1 /I 巴 + +km /m0 0, b 2,。)=匕,a 2, , am(kiik21k12k22k )7 is k2sJ = 1,2,s.记忆方法：列向量组是右乘表示矩阵，同于作列变换B = AK，km2kms J 既然一个向量b可由向量组A线性表示可等价地表示成方程b = k1 a1 + k2a2+ kmam矩阵乘法的向量组解释我们称矩阵K =（ k.）为这个线性表示的系数矩阵，或表示矩阵，B = AK 0 B的列向量组可由A的列向量组线性表示。又BT = KTA T，这表明矩阵BT的列向量组可由A T的
11、列向量组线性表示，即 B = KA = B的行向量组可由A的行向量组线性表示。特别地，若An mKm = Bn m，且表示矩阵K为满秩阵 = A的列向量组与B的列向量组等价;KnAnxm = B：，且表示矩阵K为满秩阵 = A的行向量组与B的行向量组等价;例1 设n维向量组a ,a ,.,a可线性表示单位向量组勺，,e，求证这两个向量组等价。12n12n证 因为a1,a2,气可由单位向量组e”e2,.,en线性表示，再由已知条件知，结论成立。单位向量组e1,e2,.,en是很有特点的一个向量组，从几何的观点来看（如下图中的i,j, A），它们 中的任何一个向量都不能由其余的向量线性表出，也可形
12、象地说：任一向量“突出”于其余的n-1个向量生成的“空间”之（见右图）。我们“如何用数学语言来描述、即如何抽象这个几何特征？我们以三个向量为例来分析看看。设有a1, a 2, a3,我们的问题是：1ai可否表示为a2,a3的线性组合？a 2可否表示为a1, a 3的线性组合？/a3可否表示为a1,a2的线性组合？这三个式子能否用一个式子表达？只需验算k。+ k2a2+ k3a3 = 0有无非零解？即是否存在不全为零 的数k1, k2, k3,使kax + k2a2+ k3a3 = 0.这个问题的抽象就是本节的第二个重要概念：二、线性相关性1、线性相关的概念与基本性质定义4给定向量组A： a1,
13、a2,.%，若存在不全为零的数k1, k2, ,、,使k1 a1 + k2a2+ . + k a = 0，则称向量组A是线性相关的。否则称它为线性无关。注 a1,am线性无关 = 当且仅当k=km= 0时，a1 + kmam = 0才能成立。八K=0 ，入以 、例如，k1 e1 + k2e2+ k e = 0 0 i :，所以n维单位向量组是线性无关的（P.101例1）.m mk = 0基本性质：1o ka = 0：只含一个向量a的向量组，若a = 0,则它线性相关；若a。0,则它线性无关。20任一含有零向量的向量组线性相关.(k1 a1+ +k. 0 +. + k a = 0).3o两个向量
14、线性相关的充要条件是其对应分量成比例。(k(a ,a，,a ) +1(b ,b，,b ) = (0,0,.,0) 12 n 12 n0 (a ,a ,a ) =-1 (b ,b ,b )(k0).12 n k 12 n注 由30可看出，线性相关的几何意义就是： 两个向量共线，三个向量？共面。例2(P.102例3)设向量组a,a,a线性无关，b= a+ a , b= a+ a, b = a + a ,讨论向123112223331量组b1,b2,b3的线性相关性。解 设 k b + k b + k b = 00(k + k)a + (k + k) a + (k + k ) a = 01 1 2 2 3 31 3, 1 2 3, 2 12,a1,a2,a3线性无关，k1 + k = 0，k2 + k = 0，k1 + k2 = 0,0 1 1 = -2 尹 0 = k2 = k3= 0，bb2,b3 线性无关。1 1 0用定义判定向量组的相关性实质上就是利用解线性方程组的方法，具体步骤如下:(1) 设出所讨论向量组的零组合式；(2) 将已知条件代入(1)，以从找出组合系数所满足的方程组；(3) 由此方程组有无零解判定所求线性相关性。2、线性相关性的判定我们先讨论一下线性相关与线性表示的关系。设向量组A： a1,a2,am(mM.若向量
