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1、湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1如图,空间四边形OABC中,且,则( )A.B.C.D.2如图所示,在正方体中,E为棱BC的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )A.B.C.D.3已知数列是等比数列,则公式q等于( )A.B.3C.3D.4已知点,过点的直线l与线段AB相交,则l的斜率的取值范围为( )A.B.C.D.5已知双曲线的下,上焦点分别为,是双曲线上一点且,则双曲线的标准方程为( )A.B.C.D.6已知椭圆的左,右焦点分别为,点P在椭圆上,且,则椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.7设是定义
2、在R上的偶函数,为其导函数,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )A.B.C.D.8已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.二、多项选择题9已知三条直线:直线,不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是( )A.B.1C.2D.310一条直线经过点,被圆截得的弦长等于8,这条直线的方程为( )A.B.C.D.11已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )A.B.为的最小值C.D.12若函数在区间上有最小值,则实数a的可能取值是( )A.0B.1C.2D.3三、填空题13过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为_.14已知点,若,两点在直线l上,则点A到直线l的距离为_
3、.15若椭圆上一点P到焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离_.16已知,则_.四、解答题17在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点且与轨迹C相切,求直线l的方程.18已知如图1直角梯形ABCD,E为AB的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图2),使平面平面AECD.（1）证明:平面AECD;（2）在线段CD上是否存在点F,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点F的位置:若不存在,请说明理由.19已知等差数列的前n项和为,且,.（1）求数列的通项公式;（2）若,令,求数列的前n项和.20已知函数.（1）求的
4、单调区间及极值;（2）求在区间上的最值.21已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,.（1）求抛物线C的标准方程;（2）设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线QA,QB,分别交C于A,B两点(异于Q点).证明:直线AB恒过定点.22已知函数.（1）当时,求曲线在点的切线方程;（2）讨论函数的单调性.参考答案1答案：A解析：如图所示,因为,又因为,所以.故选:A.2答案：D解析：根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,则,设平面的法向量为,则,解得,令,则,所以平面的一个法向量为,设直线与平面所成角为,则.故选:D3答案：D解析：数列是等比数列,公式为q,则有
5、,即,得.故选:D4答案：D解析：如图所示:,由图象知:当l的斜率不存在时,直线与线段AB相交,故l的斜率的取值范围为.故选:D.5答案：C解析：因为双曲线的下,上焦点分别为,所以设双曲线的方程为,半焦距为;又因为是双曲线上一点且,所以,即,则;所以双曲线的标准方程为.故选:C.6答案：B解析：由题设知是直角三角形,.又由椭圆的定义,得,故.故选:B.7答案：B解析：设,则,当时,有恒成立,当时,在上单调递增,是定义在R上的偶函数,即是定义在上的奇函数,在上也单调递增.又,.不等式的解可等价于即的解,或,不等式的解集为.故选:B.8答案：B解析：函数,则,令得,函数有两个极值点,等价于有两个零
6、点,等价于函数与的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当时,直线与的图象相切,由图可知,当时,与的图象有两个交点.则实数a的取值范围是.故选B.9答案：ABC解析：若,中有两条相互平行,或三条线过同一点都不可以围成封闭图形,若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;联立,可得,可知,的交点为,若,交于同一点,可得,故选:ABC.10答案：AD解析：由圆的方程,得到圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为8,弦心距,若此弦所在的直线方程斜率不存在时,显然满足题意;若此弦所在的直线方程斜率存在,设斜率为,所求直线的方程为,圆心到所设直线的距离,解得
7、:,此时所求方程为,即,综上,此弦所在直线的方程为或.故选:AD11答案：AC解析：,对于也成立,所以,故A正确;当时,当n=17时,当时,只有最大值,没有最小值,故B错误;因为当时,故C正确;,故D错误.故选:AC.12答案：ABC解析：因为函数,所以,令,得,当或时,当时,所以当时,取得极小值,则,解得,又因为在上递减,且,所以,综上:,所以实数a的可能取值是0,1,2故选:ABC13答案：或.解析：当直线过原点时,设直线,代入点,得,得,即;当直线不过原点时,设直线,代入点,得,得,即,化简得.综上可知,满足条件的直线方程为或.故答案为:或.14答案：3解析：依题意,而,故与方向相同的单
8、位向量为,则所求距离.故答案为:315答案：14解析：由,则,由P在椭圆上,故有,又,所以.故答案为:14.16答案：解析：因为,所以,所以,解得,故答案为:.17答案：（1）;（2）或.解析：（1）设,由,得,化简得,所以P点的轨迹的方程为.（2）由（1）知,轨迹表示圆心为,半径为2的圆,当直线l的斜率不存在时,方程为,圆心到直线l的距离为2,l与C相切;当直线l的斜率存在时,设,即,于是,解得,因此直线l的方程为,即,所以直线l的方程为或.18答案：（1）证明见解析（2）存在,F为CD中点解析：（1）在直角梯形ABCD中,E为AB的中点,即,四边形AECD为平行四边形,而,则为正方形,连接
9、AC,如图,则,因为平面平面AECD,平面平面,平面AECD,于是得平面BED,而平面BED,则有,又,AC,平面AECD,所以平面AECD.（2）由（1）得平面AECD,所以,所以EA,EB,EC两两垂直,分别以,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则,设,所以,设平面FAB的法向量为,则,取,得,取平面EBC的法向量为,因为,所以或(舍去),故线段CD上存在点F,且F为CD中点时,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.19答案：（1）（2）解析：（1）由题意知:,即:化简得.所以数列的通项公式.（2）因为所以:化简得:.20答案：（1）单调增区间为,单调减
10、区间为和;极小值;极大值10（2）最大值为10;最小值为解析：（1）函数的定义域为R,.令,得或.当变化时,的变化情况如表所示.x300单调递减单调递增单调递减故的单调增区间为,单调减区间为和.当时,有极小值;当时,有极大值.（2）由（1）可知,在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为.又,所以在区间上的最小值为.21答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由,可得,代入.解得或(舍),所以抛物线的方程为:.（2）由题意可得,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为,设,由,得,从而,则.所以,故,整理得.即,从而或,即或.若,则,过定点,与Q点重合,不符合;若,则,过定点.综上,直线AB过异于Q点的定点.22答案：（1）（2）答案见解析解析：（1）由,则,切线方程:,则.（2）由,求导得,当时,解得,解得,则:单减区间:,单增区间:;当时,令,解得或(舍去)当时,当时,则:单减区间:,单增区间:;当时,令,解得或,当时,当时,则:单减区间:和,单增区间:;当时,则:单减区间:;当时,令,解得或,当时,当时,则:单减区间:和,单增区间:;综上,当时,单减区间:,单增区间:当时,单减区间:和,单增区间:当时,单减区间:当时,单减区间:和,单增区间:.
