《第1讲 鸡兔同笼问题与假设法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1讲 鸡兔同笼问题与假设法（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、鸡兔同笼问题与假设法、问题的背景“鸡兔同笼”最早出现在孙子算经中。许多小学算术应用题都可以转化 成这类问题，或者用解它的典型解法- “假设法”来求解。因此很有必要学会它 的解法和思路：例题：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？ 思考一：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后 腿，像人一样用两只脚站着现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244三 2=122 （只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122 减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,有34只兔子当然鸡就有54只.答：有兔子34
2、只，鸡54只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数三2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的，利用化归的思想进行了转化。做一次 除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡 的脚数分别是4和2, 4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数” 就不一定是4和2, 上面的计算方法就行不通。思考二：我们对这类问题给出一种一般解法。如果设想88只都是兔子，那么就有4X 88只脚，比244只脚多了88X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所 以共有鸡（88X4-244）三（4-2） =54 （只）说明我们设想的88只“兔子”中， 有
3、54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）三（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2X88=176 （只），比244 只脚少了244-176=68 （只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚,68三2=34 （只）. 说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）三（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就 知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，一般我们称 之为“假设法”冈財所讲的例子告诉了大家是鸡兔的“头和”与“脚和”，根据问题条件的
4、 情况，一般可以把鸡兔同笼问题归结为：1、“头和”与“脚和”；2、“头和” 与“脚差”；3、“头差”与“脚和”；4、“头差”与“脚差”。“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题。 需要我们将“三种或多种”转化为“两种”二、两个量的问题的类型1、基本类型：“头和”与“脚和”例：笼里有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问：鸡与兔各有多少只？分析：假设100只都是鸡，那么就应该有2X100 = 200 （只）脚，但实际上 有240只脚，比假设的情况多了 240-200 = 20 （只）脚，出现这种情况的原因是 把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每
5、换一只，头 的数目不变，脚数增加了 2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔 的只数。解：有兔（240-2X100）三（4-2） =20 （只），有鸡 100-20 = 80 （只）。答：有20只兔，80只鸡。当然，我们也可以假设100只都是兔子，那么就应该有4X100 = 400 （只） 脚，但实际上有240只脚，比假设的情况少了 400-240=160 （只）脚，这是因 为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-2 =2 （只）。因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数。有鸡（4X100-240）三（4-2） =80 （只），有兔10080 =
6、 20 （只）。由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后 以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。2、“头和”与“脚差”例：鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了 它们脚数的差这又如何解答呢？思路一：100只全是鸡，那么脚的总数是2X100=200 （只）这时兔的脚数为0, 鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只因此，鸡脚与兔脚的差数比已 知多了 （200-80） =120 （只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡, 鸡的脚
7、数将增加2只，兔的脚数减少4只那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4） =6 （只），所以换成鸡的兔子有120三6=20 （只）有鸡（100-20） =80 （只）。解：兔（2X100-80）三（2+4） =20 （只）鸡 100-20=80 （只）思路二：假设去掉多出来的80只鸡脚，也就相当于去掉了40只鸡，现在这题 的条件就转化为了：鸡与兔共有60只，鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡脚和兔脚一 样多的情况下，鸡的只数是兔的只数的2倍。解：兔（100-80三2）三（2+1） =20 （只）鸡 100-20=80 （只）答：鸡与兔分别有80只和20只。3、“头差”与“脚和”例：鸡比兔多60只，鸡脚和兔脚
8、共240只，问鸡与兔各多少只？分析：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们头数的总和，而是给出了 它们头数的差这又如何解答呢？假设去掉多出来的60只鸡，也就相当于去掉了 120只鸡脚，现在这题的条件 就转化为了：鸡与兔一样多，鸡的脚与兔的脚一共120只。在鸡和兔一样多的情 况下，兔的脚数是鸡的脚数的2倍。解：兔（240-2X60）三（1+2）X2三4=20 （只）鸡 100-20=80 （只）4、“头差”与“脚差”例：鸡比兔多60只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析：这个例题与前面例题是有区别的，既没有给出它们头数的总和，也没有给 出脚数的和，只是给出了差，这又如何解答呢？思路一
9、：假设去掉多出来的60只鸡，也就相当于去掉了 120只鸡脚，现在这题 的条件就转化为了：鸡与兔一样多，鸡的脚比兔的脚少40只。在鸡和兔一样多 的情况下，兔的脚数是鸡的脚数的2倍。一只兔比一只鸡多2只脚。解：兔 40三（4-2） =20 （只）鸡 100-20=80 （只）思路二：假设去掉多出来的80只鸡脚，也就相当于去掉了 40只鸡，现在这题的 条件就转化为了：鸡比兔多20只，鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡脚和兔脚一样 多的情况下，鸡的只数是兔的只数的2倍。解：兔：（60-40）三（2-1） =20 （只）鸡 100-20=80 （只）三、三个量的问题例1有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿1
10、18条，翅膀20对（蜘蛛8条腿; 蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数我们假设三种 动物都是6条腿，则总腿数为6X 18=108 （条），所差118-108=10 （条），必然是 由于少算了蜘蛛的腿数而造成的所以，应有（118-108）三（8-6） =5 （只）蜘 蛛这样剩下的18-5=13 （只）便是蜻蜓和蝉的只数再从翅膀数入手，假设13只 都是蝉，则总翅膀数1X13=13 （对）比实际数少20-13 = 7 （对）这是由于蜻 蜓有两对翅膀，而
11、我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7三（2-1） =7 （只）解：假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？6X18=108 （条） 有蜘蛛多少只？（118-108）三（8-6） =5 （只） 蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13 （只） 假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？ 1X13=13 （对） 蜻蜒多少只？（20-13）三 2-1） = 7 （只）答：蜻蜒有7只.例2某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少 做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多， 那么做对4道的人数有多少人？解：对2道、3道、4道题的人共有52-7
12、-6=39 （人）。他们共做对181-1X7-5X6=144 （道）。由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2。5道题的人 （2+3）三2=2.5）。这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39。对4道题的有（144-2.5X39）三（4-1。5） =31 （人）。答：做对4道题的有31人。例3、学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花 了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元， 钢笔每支6.3元问三种笔各有多少支？解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”这两种笔可并成一种笔，四支铅笔 和一支圆珠
13、笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（0.60X4+2.7）三5=1.02 （元）.现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是 （300-1.02X232）三（6.3-1.02） =12 （支）.铅笔和圆珠笔共232 12 = 220 （支）.其中圆珠笔 220三（4+1） =44 （支）.铅笔 220-44=176 （支）.答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.例4、商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多. 问每种球各买几个？解：因为总钱数是整数，大、小
14、球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是 整数，而且还是3的整数倍我们设想买中球、小球钱中各出3元就可买2个中球， 3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是（1.5X2+1X3）三（2+3） =1.2 （元）.从公式可算出，大球个数是（120-1.2X55）三（3-1.2） =30 （个）.买中、小球钱数各是（120-30X3）三2=15 （元）.可买10个中球，15个小球.答：买大球30个、中球10个、小球15个.例4、某种考试已举行了24次，共出了426题每次出的题数，有25题，或者 16题，或者20题那么，其中考25题的有多少次？解：如果每次都考16题，16X24=384，比42
15、6少42道题.每次考25道题，就要多25-16=9 （道）.每次考20道题，就要多20-16=4 （道）.就有9 X考25题的次数+4 X考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9 X考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次 数是偶数，由9X6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2, 4这三个数由于42 不能被4整除，0和4都不合适只能是考25题有2次（考20题有6次）.答：其中考25题有2次.例5、有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元， 乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多 少位？解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往 的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车，110-1.2X30=74 （元）.还余下50-30=20 （人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.2X40=62 （元）.还余下50-40=10 （人）都乘地下铁路前往，钱还有多（626X10）.说明假 设的乘电车人数又多了 .30至40之间，只有35是5的整数倍.现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：总头数50-35=15,总脚数 110-1.2
