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1、分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常用的两个概念，同窗们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，觉得分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一种也许使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范畴而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不管未知数取何值，都不能使方程两边的值相等它涉及两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解现举例阐明如下：例1 解方程 解：方程两
2、边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）解这个方程，得x=2经检查：当x=2时，原方程无意义，因此x=是原方程的增根因此原方程无解例2 解方程解：去分母后化为x13x2（2x）整顿得0x8由于此方程无解，因此原分式方程无解例3（湖北荆门）若方程=无解，则m=解：原方程可化为=方程两边都乘以x2，得x3=m解这个方程，得x=3m由于原方程无解，因此这个解应是原方程的增根即x=2，因此2=3m，解得m=1故当m=1时，原方程无解例4当a为什么值时，有关x的方程会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整顿得（a1）x10 若原分式方程有增
3、根，则x2或2是方程的根把x2或2代入方程中，解得，a4或6若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为什么值时，有关x的方程无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x10自身无解的状况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整顿得（a1）x10 若原方程无解，则有两种情形：（1）当a10（即a1）时，方程为0x10，此方程无解，因此原方程无解。（2）如果方程的解正好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解原方程若有增根，增根为x2或2，把x2或2代入方程中，求出a4或6综上所述，a1或a一或a6时，原分式方程无解例5：（扬州中考题） 若方程-=1有增根
4、，则它的增根是（ ） A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽视增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整顿得： m(x+1)=7-x2 当x= -1时,此时m 无解； 当x=1时,解得m=3。 由此可得答案为B。例6：有关x的方程-2=有一种正数解，求m的取值范畴。分析：把m当作常数求解，由方程的解是正数，拟定m的取值范畴，但不能忽视产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：x-2 (x-3)=m整顿得：x=6-m原方程有解，故6-m不是增根。6-m3 即m3
5、x0m6由此可得答案为m的取值范畴是m6且m3。一、 分式方程有增根，求参数值例7 a为什么值时，有关x的方程=0有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整顿，得x2-4x+a=0（）由于分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（）得，9-12+a=0 a=3因此a=3时，=0有增根。例8 m为什么值时，有关x的方程+=有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整顿，得（1+m）x=3m+4（）由于分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（），解得m=-；把x=2代入（）得m=-2因此m=-或-2时，原分式方程有增根点评：分式方程有增根，不一定分式方
6、程无解（无实根），如方程+1=有增根，可求得k=-，但分式方程这时有一实根x=。二、 分式方程是无实数解，求参数值例9 若有关x的方程=+2无实数，求m的值。 解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8 由于原方程无解，因此x=-m+8为原方程的增根。 又由于原方程的增根为x=5，因此-m+8=5 因此m=3例10若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。 例11. m为什么值时，有关x的方程会产生增根？ 解：方程两边都乘以，得 整顿，得 阐明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 例12、 解方程： 分析：方程中的每个分式都相称于一种假分数，因此，可化为一种整数与一种简朴的分数式之和。 解：由原方程得： 即 例13、若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。练习题1 解方程 2 解方程3（湖北荆门）若方程=无解，则m=4当a为什么值时，有关x的方程会产生增根？5当a为什么值时，有关x的方程无解？
