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1、。新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、 经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例 . 在ABC 中,C90 已知 AC6 , BC8 求 AB 的长已知AB17 , AC15 ,求 BC 的长分析:直接应用勾股定理a 2b2c2解: ABAC 2BC210 BCAB2AC 28题型二:利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米,那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!2222222根据勾股定理 AC+BC=AB, 即
2、 AC+9 =15 ,所以 AC=144, 所以 AC=12.例题 2 如图( 8),水池中离岸边D 点 1.5米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC.CABD解析: 同例题1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知 ACD中 , ACD=90, 在 Rt ACD中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考):222解: 如图 2,根据勾股定理,AC+CD=AD设水深 AC= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2
3、=( x+0.5 ) 2解之得 x=2.故水深为2 米.题型三 :勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3,正方形 ABCD中, E 是 BC边上的中点, F 是 AB上一点,且FB1 AB4那么 DEF是直角三角形吗?为什么?。1。解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件, 我们也可以开创条件,由 FB1 AB 可以设 AB=4a,那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,4BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详
4、细解题步骤如下:解: 设正方形ABCD的边长为4a, 则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a22222=20 a2在 Rt CDE中, DE=CD+CE=(4a)+(2 a)同理 EF2=5a2, DF 2=25a2222222在 DEF中, EF + DE =5a + 20a =25a =DF DEF是直角三角形,且DEF=90 .注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四 :利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点E,将 ADE折叠使点D 恰好落在BC边上的点F,求 CE的长 .解析: 解题
5、之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB 边和 CD边,他测得AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm,AD边与 AB 边垂直吗?怎样去验证AD边与 CD边是否垂直?解析:由于实物一般比较大, 长度不容易用直尺来方便测量。 我们通常截取部分长度来验证。如图 4,矩形 ABCD表示桌面形状,在 AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度? ) ,连结 MN,测量 MN的长度。222如果 MN=
6、15,则 AM+AN=MN, 所以 AD边与 AB边垂直;如果 MN=a 15, 则 92+122=81+144=225, a 2 225, 即 92+122 a 2,所以 A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯, 安装在门上方, 离地高 4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内, 灯就自动打开, 一个身高 1.5 米的学生, 要走到离门多远的地方灯刚好打开?。2。解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5 米还是脚先距离灯5 米,可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型,如图 6 所示, A 点表示控制灯, BM表示人的高度, B C MN,BCA
7、N当头( B 点)距离 A 有 5 米时,求 BC的长度。已知 AN=4.5 米 , 所以 AC=3米,由勾股定理,可计算 BC=4米. 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。题型六 :旋转问题:例 1、如图, ABC是直角三角形, BC是斜边,将 ABP绕点 A 逆时针旋转后,能与 ACP重合,若AP=3,求 PP的长。变式 1:如图, P 是等边三角形ABC内一点, PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的边长 .分析:利用旋转变换,将BPA绕点 B逆时针选择 60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式 2、如图, ABC为等
8、腰直角三角形, BAC=90, E、 F是BC上的点,且 EAF=45,试探究 BE 2、 CF 2、 EF 2 间的关系,并说明理由 .题型七 :关于翻折问题例 1、如图, 矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC上一点, 将矩形纸片沿 AE折叠,点 B 恰好落在 CD边上的点 G处,求 BE的长 .变式:如图, AD是 ABC的中线, ADC=45,把 ADC沿直线 AD翻折,点C 落在点 C的位置, BC=4,求 BC的长 .题型八 :关于勾股定理在实际中的应用:例 1、如图,公路 MN和公路 PQ在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学, AP=160 米,点
9、A 到公路 MN的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时, 周围100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是 18 千米 / 小时,那么学校受到影响的时间为多少?题型九 :关于最短性问题例 5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为2 米,高为4 米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
10、(取3.14 ,结果保留1 位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9 个小正方形,其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点,最少要花几秒钟?。3。三、 课后训练:一、填空题1如图 (1) ,在高 2 米,坡角为 30的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需_米DCBEDAOBCAF第 4题图图(1)第 3 题图2种盛饮料的圆柱形杯(如图) ,测得内部底面半径为2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6 ,问吸管要做。3已知:如图, ABC中, C = 90,点 O为 ABC的三条角平
11、分线的交点,OD BC,OE AC,OF AB,点 D、E、 F 分别是垂足,且BC = 8cm ,CA = 6cm ,则点 O到三边 AB, AC和 BC的距离分别等于cm4在一棵树的 10 米高处有两只猴子, 一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶D后直接跃到 A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_ 米。5. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、 3dm、A2032dm, A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B2点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 _.二、选择题B1已知一个 Rt 的两边长分别为3 和 4,则第三边长的平方是()A 、25B、 14C、 7D、 7 或 252 Rt 一直角边的长为 11,另两边为自然数,则Rt的周长为()A 、121B、 120C、 132D、不能确定3如果 Rt 两直角边的比为5 12,则斜边上的高与斜边的比为()A 、60 13B、 512C、 12 13D、 60 1694已知 Rt ABC中, C=90,若 a+b=14cm, c=10cm,则 Rt ABC的面积是()A 、24cm2B、 36cm2C、 48cm2D、 60cm2