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1、第八章 层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称 AHP)是 对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它 特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学 家 T. L. Saaty 教授于 70 年代初期提出的一种简便、灵活而 又实用的多准则决策方法。1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系 统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多 因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为 这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模 方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进
2、行：(i) 建立递阶层次结构模型；(ii) 构造出各层次中的所有判断矩阵；( iii )层次单排序及一致性检验；(iv)层次总排序及一致性检验。下面分别说明这四个步骤的实现过程。1.1 递阶层次结构的建立与特点应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层 次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂 问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系 形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元 素起支配作用。这些层次可以分为三类：(i)最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析 问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。( ii )中间层：这一层次中包含了为实现
3、目标所涉及的 中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、 子准则，因此也称为准则层。(iii) 最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分 析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各 元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素 过多会给两两比较判断带来困难。下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。例1假期旅游有P、P、P 3个旅游胜地供你选择， 试确定一个最佳地点。饮食 旅途132在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和 旅途条件等一些准则去反复比较3 个
4、侯选地点。可以建立如 下的层次结构模型。但准则层中的各准则1.2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系 在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目 中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时， 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响 某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度 的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出 与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提 出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将 一块重为1千克的石块砸成丸小块，你可以精确称出它们的 重量，设为w . w，现在，请人估计这
5、n小块的重量占总重 量的比例(术能让他知道各小石块的重量)，此人不仅很难 给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。设现在要比较n个因子X = x, x 对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数1呢？ Saaty等人建议可以 采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子x和x，以表示x和x对Z的影响大小之比，全 部比较结果用矩阵A =(；)表示，称A为Z _ x之间的成对比 较判断矩阵(简称判断矩阵)。容易看出，若乂与x对Z的影 i阵响之比为a，则x与x对Z的影响之比应为a = 1阵阵i阵 a定义1若矩阵A = (a)满足阵ij n x n(i) a
6、0，(ii)a _ 丄(i . 2 n)a 0a i, j = 1,厶,nijji a则称之为正互反矩阵(易见，=1，i 1,. “)。关于如何确定a的值，Saaty等建议引用数字19及其 倒数作为标度。下表列出了 19标度的含义：标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2, 4, 6, 8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素,与因素阵的重要性之比为。，那么因素z与因素,重要性之比为a =丄。J1a.=Ji a从心理学观点来看，分级太多会超越人们
7、的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果 的正确性，实验结果也表明，采用 19 标度最为合适。最后，应该指出，一般地作n（n -1）次两两判断是必要的。2有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作n _ 1个比较 就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可 导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统 往往是难以避免的。进行n（n - D次比较可以提供更多的信息， 2 通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。1.3 层次单排序及一致性检验判断矩阵A对应于最大特征值九的特征向量W ,经
8、归一 化后即为同一层次相应因素对于上maX层次某因素相对重要 性的排序权值，这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素 的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全 部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比 较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：a a = a Vi, j,k = 1,2, n（1）ij jk ik定义 2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地 非一致，以便确定是否接受A。定理1正互反矩阵A的最大特征根九必为正实数，其 对应特征向量的所有分量均为正实数。A maX其
9、余特征值的模 均严格小于九。max定理2若A为一致矩阵，则(i)A 必为正互反矩阵。(ii ) A的转置矩阵AT也是一致矩阵。(iii) A 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而 rank(A)=1 (同样，A的任意两列也成比例)。(iv) A的最大特征值九=n，其中n为矩阵A的阶。A的 其余特征根均为零。(v) 若A的最大特征值九对应的特征向量为maxW = (w ,w )T，则 a. = i ， V i, j = 1,2,n，即1nij wwww-1r1www1 2nwww2 2 2www12n wwwwww定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大 特征根九=n，且当正互反矩阵A
10、非一致时，必有九 n。根max理3,我们可以由九是否等于n来检验max断矩阵 A是否为一致矩阵。由于特征maX续地依赖于a，故九比n 大得越多，A的非一致性程度也就越严重，I孑应的maX准化 特征向量也就越不能真实地反映出x = x在对因素Z 的影响中所占的比重。因此，对决策者1供勺判断矩阵有必 要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：(i) 计算一致性指标CI九 一 n CI = max n 一1(ii) 查找相应的平均随机一致性指标RI。对n = 1,9 Saaty给出了 RI的值，如下表所示：n123456789RI000.580.901.121.241
11、.321.411.45RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500 个样本矩 阵：随机地从19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求 得最大特征根的平均值九，并定义max九-n 。RI = max -n 一 1（iii）计算一致性比例CRCR =当CR 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则 应对判断矩阵作适当修正。1.4 层次总排序及一致性检验 上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权 重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对 于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上 而下地将单准则下的权重进行合成。设上一层次（A层）包含A ,. , A共m个因素，
12、它们的层 次总排序权重分别为a，,a。又设其后的下一层次（B层） 包含n个因素B，B，它仍关于A的层次单排序权重分别为 b,., b （当B与A无关联时，b = 0）。现求B层中各因素关 于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b，,b， 1n 计算按下表所示方式进行，即b =fba，i = 1,n。iij jj=1那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过 层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较 为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有 可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。设B层中与A相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序 中经一致性检验j
13、求得单排序一致性指标为CI (j)，(j=1, ,m)，相应的平均随机一致性指标为RI(j)(CI(j) RI(j)已在层次单排序时求得)，则B层总排序随机一 致性比例为m乙 CI (j) ajCR = 1m乙 RI (j) aj当CR 0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并 接受该分析结果。2 层次分析法的应用 在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两 个：( i )如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；( ii ) 如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。层次分析 法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析 问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的
14、依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i）它在很大程 度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能 排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可 能存在的严重片面性。（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能 用于精度要求较高的决策问题。 AHP 至多只能算是一种半定 量（或定性与定量结合）的方法。AHP方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺 点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组 决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新 热点。八、八、在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的 一步。现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象 出相应的层次结构。例 2 挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表 示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结 构模型，如下图所示。目标层71工作满意程度為一准则层8研究课题发展前途同事情况地理位置昼单位名气方案层cABBBBB111213441B11242B11/2153B1/41/41/5B4111/33522236B B151621 1/231/211/31/31 131方案层）BCC C 一BCCC1C111/41/22 1 2C13
