《中考数学二轮重难点复习讲义模型30 探照灯模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型30 探照灯模型（解析版）（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角，则AD有最小值，即ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.R模型剖析如何确定ABC面积的最小值呢？首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OHBC于H点.（如右上图）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于BAC的大小是一个定值，而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角AOB的度数，也是一个定值.因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值.简证：OA+OHAD，四边
2、形OEDH为矩形，OH=ED，在RtAOE中，AOAE，AO+OH=AO+EDAE+ED=ADR步骤指引1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”，求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.例题精讲【例1】如图，在ABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则ABC面积的最小值为 解：作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，过点O作OEBC于点E，BAC60，BOC120，OBOC，OBCOCB30，设O的半径为r，则OEOBr，BEOBr，BCr，OA+OEAD，r+r4，解得：r，BC，
3、ABC的面积的最小值为，故答案为：变式训练【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB2，BC12，点E，F均在AD上，且ABE+FCD90，则四边形BCFE面积的最大值为20解：将DCF向左平移，使DC与AB重合，点F的对应点为点G，ABE+FCD90，GBE90，作BGE的外接圆O，连接OB，则OBAB，当点O与点A重合时，OB取得最小值，最小值为2，GE的最小值为4，GBE的面积最小GEAB424，四边形BCFE矩形ABCD的面积ABE的面积CDF的面积矩形ABCD的面积GBE的面积，当GBE的面积最小时，四边形BCFE的面积有最大值，四边形BCFE最大212420，四边形BCFE面积的最
4、大值为20故答案为：20【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，ABADCD4，ADBC，B60，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF60，则AEF的面积的最小值是4解：将ADF绕点A顺时针旋转120到ABM，由旋转得：BMDF，AMAF，ABMD120，MABFAD，ABC60，ABM+ABC180，M、B、E共线，MAEMAB+BAEFAD+BAE60，EAF60，AEAE，FAEMAE（SAS），MEAFEA，过A作AHBC于H，作AKEF于K，AHAKABsin602，作AEF的外接圆O，连接OA、OE、OF，过O作ONEF于N，EAF60，EOF120，NOF60，设EF
5、2x，则NFx，RtONF中，ONx，OFx，ON+OAOF+ONx，OA+ONAK，x2，x2，SAEFEFAK2x4，AEF面积的最小值是4【例2】如图，已知在四边形ABCD中，ABC60，连接AC、BD交于点E，EC2AE4，若BE2ED，则BD的最大值为 解：如图，作ABC的外接圆O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OHAC于HAOC2ABC，ABC60，AOC120，EC2AE4，AE2，ACAE+EC6，OAOC，OHAC，AHHC3，EHAHAE1，OACOCA30，OHAHtan30，OE2，OA2OH2，OBOA2，BEOB+OE，BE2+2，BE的最大值为2+2，BE2
6、DE，DE的最大值为1+，BD的最大值为3+3故答案为3+3变式训练【变式2-1】已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且AOB30则ABO的面积最小值为 6416解：如图，过点O作直线l直线l，则直线l与直线l之间的距离为4，作点B关于直线l的对称点B，连接OB，AB，AB交直线l于点T，连接BT，过点A作AHBT于H，过点T作TWAB于W在RtABB中，AB，AB的值最小时，AB的值最小，OA+OBOA+OBAB，当A，O，B共线时，AB的值最小，此时AB的值最小，直线l垂直平分线段BB，TBTB，TBBTBB，TBA+TBB90，TAB+TBB90，TABTB
7、A，TATB，cosAOBcosATB，可以假设THk，ATTB2k，BHTBTH（2）k，AHk，AB2k，STABABTWTBAH，2k42kk，解得k4，ABO的面积最小值为2446416，故答案为：64161如图，在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作ADE，使ADEABC，则ADE面积的最小值为 解：BAC90，AB3，BC5，AC4，SABCABAC6，ADEABC，（）2，当ADBC时，AD有最小值，即ADE面积有最小值，此时，AD，ADE面积的最小值6（）2，故答案为：2如图，AOB45，在边OA，OB上分别有两个动点C、D连
8、接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是+解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，CDF和CDE是等腰直角三角形，CDFCDE45，EDF90，CD2，DE2，DF，由勾股定理得：EF，OEOF+EF+，OE的最大值是+，故答案为：+3如图，已知ABC中，BAC60，AD平分BAC，交BC于D，且AD4，则ABC面积的最小值为 解：如图，过点D作DEAB于点E，作DFAC于点F，BAC60，AD平分BAC，BADCAD30，设ABc，ACb，在RtADE中，DEADsinBAD4s
9、in302，在RtACG中，CGACsinBACbsin60b，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF2，SABCSABD+SACD，ABCGABDE+ACDF，即：cbc2+b2，c+bbc，（）20，c+b2，当且仅当bc时取等号，bc2，解得：bc，SABCbc，故答案为：4如图，四边形ABCD中，BAD135，B60，D120，AD5，AB6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，EAF45，AEF面积的最小值 解：如图，过点A作AMBC于M，过点E作EHAF于H，ANCD，交CD的延长线于N，B60，AMBC，BAM30，BM3，AM3，ADC120，ADN60，NAD30，D
10、NAD，AN，BAD135，EAF45，BAM30，MAE+DAF60，又ADNDAF+DFA60，MAEAFD，又AMEN90，AFNEAM，设MEx，则AE，AF，EAF45，HEAF，HEAE，AEF面积AFHE（）（），当a，b为正数时，（ab）20，a2+b22ab，AEF面积（）2，AEF面积的最小值为，故答案为5已知点D（2，a）为直线yx+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为6解：如图，取AB的中点F，连接DF，ADB90，AB2DF点D（2，a）为直线yx+
11、3上一点，a2+32，D（2，2），过点D作DEAB于E，DE2，E（2，0），S四边形ACBDSABC+SABDABOC+ABDEAB（OC+DE）AB3DF，要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，点D（2，2），点F在x轴上，当DFx轴时，DF最小，最小值为DE2，S四边形ACBD最小326，故答案为66如图，在RtABC中，A90，ABAC，点D在AB上，点E在AC上，且ADCE，连接DE，求的最小值解：设ABAC1，A90，ABAC，ABC是等腰直角三角形，B45，BCAB，设ADCEx，AEBD1x，过点D作DFBC于F，如图所示：则BDF是等腰直角三角形，BFDFBD（1x），DE，CFBCBF（1x）（x+1），CD，设y，整理得：yx22x+y10，x为实数，（2）24y（y1）0，即：y2y10，y，y最大值为，的最小值为：7边长为a（a为常数）的正方形ABCD中，动点E、F分别在边CD和边BC上，且EAF45（1）线段EF的最小值；（2）SECF的最大值；（3）SECF的最小值解：（1）设CEx，CFy，（xy）20，x2+y22xy，EF2x2+y2，EF最小时，x2+y22xy，即（xy）20，xy，即CECF，EFAC，EGFG，AC垂直平分EF，AEAF，EAGFAG，四边形ABCD是正方形，ABBCDAD，ADCD，ABBC，BAD
