《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题11 几何压轴中的实践与操作题型(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题11 几何压轴中的实践与操作题型(解析版)(31页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题11 几何压轴中的实践与操作题型对于实践操作型问题,在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值,经历“数学化”和“再创造”的过程,不断提高自己的创新意识与综合能力,这是全日制义务教育数学课程标准(实验稿)的基本要求之一,因此,近年来实践操作性试题受到命题者的重视,多次出现.图形的设计与操作问题,主要分为如下一些类型:1已知设计好的图案,求设计方案(如:在什么基本图案的基础上,进行何种图形变换等)2利用基本图案设计符合要求的图案(如:设计轴对称图形,中心对称图形,面积或形状符合特定要求的图形等)3图形分割与重组(如:通过对原图形进行分割、重组,使形状满足特定要求)4动手操作(通过折叠、裁
2、剪等手段制作特定图案) 解决这样的问题,除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外,还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明,以获得重要的数据,辅助图案设计由于折叠操作相当于构造轴对称变换,因此折叠问题中,要充分利用轴对称变换的特性,以获得更多的图形信息必要时,实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效(2022宁夏中考真题)综合与实践知识再现如图,中,分别以、为边向外作的正方形的面积为、当,时,_问题探究如图,中,(1)如图,分别以、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、,则、之间的数量关系是_(2)如图,分别以、为边向外作的等边三角形的面积为、,试猜想
3、、之间的数量关系,并说明理由实践应用(1)如图,将图中的绕点逆时针旋转一定角度至,绕点顺时针旋转一定角度至,、相交于点求证:;(2)如图,分别以图中的边、为直径向外作半圆,再以所得图形为底面作柱体,、为直径的半圆柱的体积分别为、若,柱体的高,直接写出的值问题探究:(1);(2);理由见解析;实践应用:(1)见解析;(2)知识再现:利用勾股定理和正方形的面积公式可求解;问题探究:(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解;(2)过点D作DGBC交于G,分别求出,由勾股定理可得,即可求S4+S5=S6;实践应用:(1)设AB=c,BC=a,AC=b,则HN=a+b-c,FG=c-a,MF=c-
4、b,可证明HNP是等边三角形,四边形MFGP是平行四边形,则,再由,可证明(2)设AB=c,BC=a,AC=b,以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2,可得S1+S2=S3,又由,即可求【答案】知识再现 ;【详解】知识再现:解:中,故答案为:;问题探究:解:中,故答案为:;解:中,过点作交于,在等边三角形中,同理可得,;实践应用:证明:设,是等边三角形,是等边三角形,是等边三角形,四边形是平行四边形,是直角三角形,;解:设,以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为,是直角三角形,本题考查四边形的综合应用,熟练掌握直角三角
5、形的勾股定理,等边三角形的性质,圆的性质,圆柱的体积,平行线的性质是解题的关键(2022江西统考中考真题)问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)(1)操作发现:如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当与重合时,重叠部分的面积为_;当与垂直时,重叠部分的面积为_;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积与S的关系为_;(2)类比探究:若将三角板的顶点F放在点O处,在旋转过程中,分别与正方形的边相交于点M,N如图2
6、,当时,试判断重叠部分的形状,并说明理由;如图3,当时,求重叠部分四边形的面积(结果保留根号);(3)拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处,该锐角记为(设),将绕点O逆时针旋转,在旋转过程中,的两边与正方形的边所围成的图形的面积为,请直接写出的最小值与最大值(分别用含的式子表示),(参考数据:)(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分的面积=OBC的面积=正方形ABCD的面积=1;当OF与BC垂直时,OEBC,重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的
7、关系为S1=S利用全等三角形的性质证明即可;(2)结论:OMN是等边三角形证明OM=ON,可得结论;如图3中,连接OC,过点O作OJBC于点J证明OCMOCN(SAS),推出COM=CON=30,解直角三角形求出OJ,即可解决问题;(3)如图4-1中,过点O作OQBC于点Q,当BM=CN时,OMN的面积最小,即S2最小如图4-2中,当CM=CN时,S2最大分别求解即可【答案】(1)1,1,(2)是等边三角形,理由见解析;(3)【详解】(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分的面积=OBC的面积=正方形ABCD的面积=1;当OF与
8、BC垂直时,OEBC,重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S理由:如图1中,设OF交AB于点J,OE交BC于点K,过点O作OMAB于点M,ONBC于点NO是正方形ABCD的中心,OM=ON,OMB=ONB=B=90,四边形OMBN是矩形,OM=ON,四边形OMBN是正方形,MON=EOF=90,MOJ=NOK,OMJ=ONK=90,OMJONK(AAS),SPMJ=SONK,S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD,S1=S故答案为:1,1,S1=S(2)如图2中,结论:OMN是等边三角形理由:过点O
9、作OTBC,O是正方形ABCD的中心,BT=CT,BM=CN,MT=TN,OTMN,OM=ON,MON=60,MON是等边三角形;如图3中,连接OC,过点O作OJBC于点JCM=CN,OCM=OCN,OC=OC,OCMOCN(SAS),COM=CON=30,OMJ=COM+OCM=75,OJCB,JOM=90-75=15,BJ=JC=OJ=1,JM=OJtan15=2-,CM=CJ-MJ=1-(2-)=-1,S四边形OMCN=2CMOJ=-1(3)如图4,将沿翻折得到,则,此时则当在上时,比四边形的面积小,设,则当最大时,最小,即时,最大,此时垂直平分,即,则如图5中,过点O作OQBC于点Q,
10、 ,BM=CN当BM=CN时,OMN的面积最小,即S2最小在RtMOQ中,MQ=OQtan=tan,MN=2MQ=2tan,S2=SOMN=MNOQ=tan如图6中,同理可得,当CM=CN时,S2最大 则COMCON,COM=,COQ=45,MOQ=45-,QM=OQtan(45-)=tan(45-),MC=CQ-MQ=1-tan(45-),S2=2SCMO=2CMOQ=1-tan(45-)本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,四边形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题1(2022内蒙古通辽模拟预测)综合实践
11、问题情境在图所示的直角三角形纸片中,是斜边的中点数学老师让同学们将绕中点做图形的旋转实验,探究旋转过程中线段之间的关系解决问题(1)“实践小组”的同学们将以点为中心按逆时针旋转,当点的对应点与重合时,与它的对应边交于点他们发现:请你帮助他们写出证明过程数学思考(2)在图的基础上,“实践小组”的同学们继续将以点为中心进行逆时针旋转,当的对应边时,设与交于点,与交于点他们认为他们的认识是否正确?请说明理由再探发现(3)解决完上面两个问题后,“实践小组”的同学们在图中连接,他们认为,与也具有一定的数量关系请你写出这个数量关系_(不要求证明)【答案】(1)见解析;(2)正确,理由见解析;(3)【分析】
12、(1)根据直角三角形斜边中线的性质可得,根据等边对等角、旋转的性质可得,又,根据等腰三角形三线合一可证;(2)过点O作,垂足分别为N,M,利用“角边角”证明,推出,再利用“角角边”证明,推出,进而证明四边形正方形,通过等量代换可得,再利用相似三角形的性质得出,即可证明;(3)利用正方形的性质可得,再结合(2)的结论可得【详解】解:(1)证明如下:是斜边的中点,由旋转的性质可得,是的中点,又,;(2)他们的认识正确,理由如下:,如图,过点O作,垂足分别为N,M,由旋转的性质可得,四边形矩形,在和中,四边形正方形,;(3)如图,连接由(2)知四边形正方形,即,故答案为:2(2022山西山西实验中学
13、校考模拟预测)综合与实践:问题情境:在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:如图,在正方形中,是射线上一动点,以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形,使得,且点恰好在射线上(1)如图1,当点在对角线上,点在边上时,那么与之间的数量关系是_;探索发现:(2)当点在正方形外部时如图2与图3,(1)中的结论是否还成立?若成立,请利用图2进行证明;若不成立,请说明理由;问题解决:(3)如图4,在正方形中,当是对角线的延长线上一动点时,连接,若,求的面积【答案】(1);(2)成立,证明见解析;(3)【分析】(1)连接,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,可得,即可;(2)连接,根据正方形的性质和是等腰直角三角形,证得,可得,即可;(3)连接交于点,过点作交直线于点,根据正方形的性质,可得,再证得,可得,在中,根据勾股定理可得,即可【详解】(1)解:如图,连接,四边形是正方形,是等腰直角三角形,即;故答案为:;(2)解:(1)中的结论还成立,证明如下:如图2,连接,四边形是正方形,是等腰直角三角形,即;(